Sous groupes du groupe de Galois sur $\Q$ de $X^5-2$

Bonjour,

En notant $C_5$, (respectivement $C_4$) le groupe cyclique d'ordre $5$ (resp. $4$) engendré par $\sigma$ (resp. $\tau$),

$G$ est isomorphe au produit semi-direct $C_5\rtimes _{\varphi} C_4$ où $ \varphi : \ C_4\to \text{Aut} (C_5)$ est défini par $\left(\varphi (\tau ^k)\right)(\sigma) = \sigma^{2^k}.$

Voici le recensement des sous-groupes non "triviaux" de $G$ et des corps intermédiaires qui leur sont associés par la correspondance de Galois.

$$\begin{array}{|c|c|} \hline  \text{Sous-groupes non triviaux } H \text{ de } G& \text{Corps } \mathbb K_H = \{x\in \mathbb K \mid \forall \theta \in H, \: \theta(x) =x \} \\ \hline \hline 5\text{  sous-groupes d'ordre } 2:  \:\: \langle \sigma ^{k }\tau^2 \rangle , \:\: k \in [\![0;4]\!] & \Q(\alpha \omega ^{3k }, \sqrt 5),\:\:k\in [\![0;4]\!] \\ \hline 5\text{ sous-groupes d'ordre } 4: \:\: \langle \sigma ^k \tau \rangle ,\:\: k \in [\![0;4]\!]&  \Q(\alpha \omega ^{-k}), \:\: k \in [\![0;4]\!]\\ \hline 1\text{  sous-groupe d'ordre } 5: \:\: \langle \sigma\rangle & \Q(\omega) \\ \hline1\text{ sous-groupe d'ordre }10 : \:\: \langle \sigma\:, \: \tau^2\rangle & \Q(\sqrt 5)\\ \hline \end{array} $$

J'ai d'abord fait la liste des éléments d'ordre $2$ ou $5$ et constaté que le choix de n'importe quel couple d'éléments conduisait au même sous-groupe que celui engendré par $\sigma$ et $\tau^2$. Celui-ci est bien d'ordre $10$ et diédral à cause des relations $\sigma^5=(\tau^2)^2=1$ et $\tau^2\sigma\tau^{-2}=\sigma^{-1}$ (si on ne connaît pas cette présentation du groupe diédral, on montre d'abord que tout élément est de la forme $\sigma^j(\tau^{2})^k$ avec $0\le j\le4$ et $0\le k\le1$)).

Pour établir l'isomorphisme avec le produit semi-direct, tout découle de la relation $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^2$ (avec bien sûr $\sigma^5=\tau^4=1$).

Bonsoir Blanc

Tu peux trouver l'exercice traité dans la littérature. Par exemple, dans Algèbre éclectique de G.Danila, J.D.Eiden, R.Mneimné, chez Calvage & Mounet, le problème p666-670 traite du groupe de Galois du polynôme $X^5-7$ (qui a la même structure que celui du polynôme $X^5-2$).

Le groupe de Galois : $C_5\rtimes_\phi C_4$ est modélisé comme un sous-groupe du groupe affine de la droite affine sur $\mathbb F_5$, précisément, le sous-groupe des homothéties-translations.

Son sous-groupe d'ordre 10 est le groupe des demi-tours-translations (noté $DtT(\mathcal E_1,\mathbb F_5)$ ici). Ayant 5 sous-groupes d'ordre 2 conjugués (chacun engendré par un demi-tour en chacun des 5 points de $\mathcal E_1$), c'est donc le diédral : $\mathcal D_5$.

Voici les treillis des sous-groupes du groupe de Galois $X^5-7$ et celui des sous-extensions de son corps de décomposition.

Alain

PS. Je te recommande vivement d'aller feuilleter dans ta BU le livre référencé ci-dessus. Tu y trouveras plein d'exemples apparentés à celui-ci.