Permuter intégrale-série

floyd mayweather · September 2022

Bonjour. Supposons que $\mu<0$. Soit $L^\alpha_n(x)$ le polynôme de Laguerre de type $n$ soit $f\in L^2(\Bbb C)$.

Comment on peut montrer que $$\sum^\infty_{k=0}\int_{\Bbb C} f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz= \int_{\Bbb C} \sum^\infty_{k=0}f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz,$$ avec $dz$ la mesure de Lebesgue. Rappelons que $\int^{+\infty}_{0} | L^{\alpha}_{k}(t) |^{2}t^{\alpha}e^{-t}dt=\frac{\Gamma(\alpha+k+1)}{\Gamma(k+1)}$,

Merci beaucoup.

gebrane · September 2022

Tu ne peux pas car ce truc $\sum^\infty_{k=0}f(w)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}$ diverge.

floyd mayweather · September 2022

Mais il y a aussi une $L^0_k$.

gebrane · September 2022

désolé je suis aveugle et ce f(w) , le w dépend de quoi au juste

floyd mayweather · September 2022

Ah oui w c'est z. Merci

gebrane · September 2022

Pourquoi la série
$$ \sum^\infty_{k=0}\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)$$ converge

floyd mayweather · September 2022

L'égalité demandée est vrai au sens des distributions pour f à support compact. La somme converge au sens des distributions. Je pense par densité on peut l'étendre sur $L^2$

floyd mayweather · September 2022

Bonjour @gebrane voir le PDF attaché (relation 12). La série converge mais dans quel sens

gebrane · September 2022

Sur Wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_polynomials j'ai trouvé cette fonction génératrice
$$(*)\qquad \sum_{n\geq 0} t^nL_n(x) =\frac 1{1-t}e^{-\tfrac {tx}{1-t}}$$ Elle permet de comprendre ta série $\sum_{n\geq 0} \frac{L_n(x)}{n+a}$
(tu multiplies (*) par $t^{a-1}$ et tu intègres en 0 et 1 en t).

floyd mayweather · September 2022

Mais la nouvelle série pourquoi elle converge.

gebrane · September 2022

Ecris l'intégrale obtenue

floyd mayweather · September 2022

Donc on obtient: $\sum^\infty_{n=0} t^{n+a-1}L_n(x) = (1-t)^{-1}t^{a-1} \exp(-\frac{tx}{1-t})$
En intégrant on obtient le résultat désiré. Le membre qui est à droite est effectivement une représentation intégrale de la fonction $\Gamma(a)G(a,1,x)$ qui est dans $L^2(\R)$.
Il faut des justufcations pour permuter intégrale et somme.

floyd mayweather · September 2022

On a une convergence simple en utilisant le résultat en bas pour $n$ assez grand.
On a aussi $$\Gamma(a)\psi\left( a,c,x\right)= e^x \int^1_0 \exp(-{x\over 1-t}) t^{a-1}(1-t)^{c-1}\in L^2(\Bbb R) $$

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/qc/m6qpgad7mipq.png

gebrane · September 2022

Ne raconte pas des trucs que tu ne comprends pas . Tu tombes sur l'intégrale $\int^1_0 \exp(-{xt\over 1-t}) t^{a-1}(1-t)^{-1}dt$

C'est une intégrale généralisée, pourquoi elle converge ? ( je précise $\forall x\ne 0,\, \forall a>0$)

floyd mayweather · September 2022

Au voisinage de 1 converge et au voisinage de 0 converge si et seulement si a>0.

gebrane · September 2022

ok et tu n'as plus besoin de personne pour permuter série et intégrale

floyd mayweather · September 2022

Si, comment on permute

JLapin · September 2022

$\int \sum = \sum \int$

gebrane · September 2022

Tu es méchant @JLapin

floyd mayweather tu connais quoi comme théorème qui permet de permuter les deux trucs ?

floyd mayweather · September 2022

Théorème de Tonelli pour les séries, convergence dominée, convergence uniforme, ils ne fonctionnent pas.
Jlapin, si tu es capable montrer nous

gebrane · September 2022

Ne sous-estime pas Jlapin. Ce que tu ne comprends pas, c'est du niveau L1 L2. Je t'explique pour en finir.
Pour permuter ta série $\sum^\infty_{n=0} t^{n+a-1}L_n(x)$, $x,a >0$ et ton intégrale il suffit https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'interversion_série-intégrale de montrer que la série du terme général
$$\int_0^1 |t^{n+a-1}L_n(x)| dt$$ est convergente, on a
$\int_0^1 |t^{n+a-1}L_n(x)| dt=|L_n(x)|\int_0^1 t^{n+a-1} dt=\frac{|L_n(x)|}{n+a}$. J'espère que tu sais https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2382853/#Comment_2382853 que pour $x>0$, $|L_n(x)|\sim \frac c{n^{\frac 14}}$, $c>$0, donc la série $\sum^\infty_{n=0}\frac{|L_n(x)|}{n+a}$ est convergente (équivalente à une série de Riemann convergente).

floyd mayweather · September 2022

Mais nous on veut $\sum^\infty_{k=0}\int_{\Bbb C} f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz=\int_{\Bbb C} \sum^\infty_{k=0}f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz$