Besoin d'un topo sur les formes différentielles

Avertissement : je suis loin d'être un "pro" de la géométrie différentielle, des gens plus compétents que moi corrigeront/complèteront peut-être.

J'avais commencé à répondre à tes questions avant de me rendre compte que cela revenait presque exclusivement à écrire proprement les définitions de chaque objet et de chaque opération (ce qui est assez long). C'est étrange qu'un livre de math sur les formes différentielles ne définisse pas proprement ce que c'est. Par conséquent le mieux est sans doute que tu ailles lire un livre qui contient ces définitions rigoureuses, sinon elles sont aussi sur wikipédia.

Pour ne pas rien expliquer tout de même, voici quelques infos. Plaçons nous sur $U$ un ouvert de $\R^2$, une $k$-forme différentielle $\omega$ sur $U$ est une application $\omega : x \mapsto \omega_x$ définie sur $U$ telle que $\omega_x : \R^k \to \R$ soit une application $k$-linéaire alternée, on demande de plus à ce que $\omega$ soit régulière (disons $C^\infty$) par rapport à la variable $x$. Ce n'est rien de plus que cela. Si on s'intéresse aux formes différentielles définies sur une variété $M$ alors $\omega_x$ sera définie cette fois sur $T_xM$. Maintenant il faut savoir que l'espace des formes $k$-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension $n$ est $\binom n k$. En particulier pour $k=n$ on a un espace de dimension $1$ engendré par le déterminant et pour $k>n$ il n'y a que la forme nulle.  Tu peux ensuite aller voir la définition sur wikipédia du produit extérieur de formes différentielles, le fait que $\mathrm  d u \wedge \mathrm  d u $ est alors immédiat. On voit de plus que en dimension $2$ et si j'ai bien compris tes notations $\mathrm du \wedge  \mathrm  dv (a,b) = \det(a,b)$. Or, le déterminant des vecteurs $a$ et $b$ est exactement l'aire (orientée) du parallélogramme engendré par $a$ et $b$. On voit alors le lien avec la mesure $\mathrm  du \mathrm  dv$.

Autre point de vue, pour les surfaces plongées dans $\R^3$. une $1$-forme différentielle est équivalente à un champ de vecteur. En effet si $\omega$ est une $1$-forme alors par isomorphisme entre $\R^n$ et son dual il existe pour chaque $x$ un unique vecteur $w_x$ tel que $\omega_x : v \mapsto \langle w_x,v \rangle$. Évidemment l'existence et unicité de ce $w_x$ dépendent du choix d'un produit scalaire préalable. Typiquement, si j'ai bien compris tes notations, dans le cas d'un ouvert $U\subset \R^2$ la forme $\mathrm  du$ est équivalente au produit scalaire par $(1,0)$ et $\mathrm dv$ est équivalent au produit scalaire par $\mathrm (0,1)$. Prenons une surface $S\subset \R^3$, prenons deux $1$-formes différentielles $\mathrm d \alpha$ et $\mathrm d \beta$. Soit $p$ un point de $S$, on peut voir $T_pS$ comme un sous-espace vectoriel de $\R^3$ et $(\mathrm d\alpha \wedge \mathrm d \beta)_p$ est définie sur $(T_pS)^2$. En prenant sur $T_pS$ le produit scalaire induit par celui de $\R^3$ on a un unique couple de vecteurs $(a_p,b_p)\in(T_pS)^2\subset (\R^3)^2$ tels que $\mathrm d \alpha_p  : X\mapsto \langle a_p,X\rangle $ et $\mathrm  d\beta _p : X \mapsto \langle b_p , X\rangle  $. Soient $u$ et $v$ deux vecteur du plan tangent $T_pS$  (toujours vu comme sous-espace de $\R^3$), on peut alors montrer que \[ (\mathrm d\alpha \wedge \mathrm d \beta)_p(u,v) =\pm \det (u,v,a_p\wedge b_p ) \] où $a_p\wedge b_p$ représente le produit vectoriel de $a_p$ et $b_p$. J'ai mis un $\pm$ devant le déterminant car je ne suis plus sûr de l'orientation, mais ce n'est pas l'important ici. Ceci explique un peu pourquoi le produit extérieur et le produit vectoriel son notés de la même façon et permet de comprendre pourquoi dans ce cas $\mathrm d \alpha \wedge \mathrm d \alpha =0$.