L'ensemble des homomorphismes de groupes (non topologiques) de $\Z[\frac{1}{2}]$ dans $U(1)$ est-il isomorphe à $U(1) \times \Z_2$ ? ($\Z_2$ étant l'ensemble des nombres $2$-adiques). Sinon à quoi cet ensemble est-il isomorphe ?
Je ne pense pas qu'il soit isomorphe à $U(1) \times \Z_2$, car il existe dans ce dernier ensemble un élément $x$ tel que $2x=0$, et $x \neq 0$, alors qu'il n'en existe pas dans $Hom(\Z[\frac{1}{2}],U(1))$.
Sauf erreur, le groupe additif de $\mathbb
Z[1/2]$ est la limite inductive de $$\mathbb
Z\stackrel2\longrightarrow\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\mathbb
Z\stackrel2\longrightarrow\ldots\;,$$
donc $\mathrm Hom(\mathbb Z[1/2],U(1))$ est la limite projective de
Ici j'ai $\mathrm{Hom}(\varinjlim\mathbb Z, U(1))\simeq \varprojlim\mathrm{Hom}(\mathbb Z, U(1))\simeq \varprojlim U(1)$ où les morphismes de transition sont l'élévation au carré.
Merci de m'avoir fait découvrir une espèce rare de groupes dont je ne me souviens pas avoir croisé la route..
Cela m'a conduit, en l'absence de connaissances théoriques, à en expliciter la loi et retrouver, me semble-t-il, ce qui a été dit par Gabuzomeu.
$\mathbb U$ désigne le groupe multiplicatif des nombres complexes de module $1$, isomorphe à $\left ( \R/\Z, + \right).$
Soit $(G ,\times)$ le groupe défini par $G= \left\{u\in \mathbb U^{\N}\mid \forall n \in \N, \: u_{n+1}^2 = u_n \right \}, \quad \forall u,v \in G, \:\: \forall n \in \N, \:\: (u\times v)_n = u_nv_n.$
Alors, $\:G \simeq\text{Hom} \left( \Z[\frac12], \mathbb U\right ),$ via l'isomorphisme $\theta : \:\:u \longmapsto \theta_u \: $ où $\:\theta_ u: \left\{\begin{array}{ccc} \Z\left[ \frac 12 \right] & \overset{\theta_u}{\longrightarrow }& \mathbb U \\ x = \dfrac a{2^n} \: (a\in \Z, n \in \N) &\longmapsto &\theta_u(x)= u_n^{a} \end{array}\right .$
($ \theta_ u (x)$ ne dépend pas de l'écriture $x=\dfrac a{2^n}$)
Cela permet, entre autres choses, de voir qu'en effet $G$ ne possède pas d'éléments d'ordre $2$, ou que, pour tout entier $n$ impair et tout $x$ dans $G$, il existe une infinité d'éléments $y$ de $G$ tels que $x=y^n.$
En effet, cela donne une représentation de l'isomorphisme. Merci @LOU16 .
Au sujet de $\Z_2$, utilisant le fait que la limite projective des duaux est le dual de la limite inductive, on montre que $\rm{Hom}( \Z[\frac{1}{2}]/\Z, \mathbb{U})$ est isomorphe à $\Z_2$, il me semble (je vérifie).
Une remarque: cette limite projective est aussi isomorphe au quotient de $\mathbb{R}\times \mathbb{Z}_2$ par la copie diagonale de $\mathbb{Z}$ (je le laisse en exercice amusant).
Voici une construction des isomorphismes évoqués par Marco et Pea. $\quad \forall n \in \N, \:\: \omega_{2^n} := \exp\left(\frac {2\mathrm i \pi}{2^n}\right).$
Soit $u \in\Z_2: \:\:u =( u_n)_{n\in \N^*}, \:\: u_n \in \Z/2^n \Z, \: \: u_{n+1}\equiv u_n \mod 2^n .\quad$ Alors $\: \omega_{2^n} ^{u_n}\:$ est un élément parfaitement défini de $\mathbb U.$
Voici un exercice: quel est l'ensemble des $x \in \mathbb{U}$, tel que la suite $(x^{2^n})_{n \in \N}$ tend vers $1$ ? On en déduit $\mathrm{Hom}(\Z_2,\mathbb{U})$, l'ensemble des morphismes continus du groupe topologique $\Z_2$ dans $\mathbb{U}$.
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