Permuter intégrale-série
Bonjour. Supposons que $\mu<0$. Soit $L^\alpha_n(x)$ le polynôme de Laguerre de type $n$ soit $f\in L^2(\Bbb C)$.
Comment on peut montrer que $$\sum^\infty_{k=0}\int_{\Bbb C} f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz= \int_{\Bbb C} \sum^\infty_{k=0}f(z)\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)e^{-|z|^2\over 2}dz,$$ avec $dz$ la mesure de Lebesgue. Rappelons que $\int^{+\infty}_{0} | L^{\alpha}_{k}(t) |^{2}t^{\alpha}e^{-t}dt=\frac{\Gamma(\alpha+k+1)}{\Gamma(k+1)}$,
Merci beaucoup.
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Réponses
$$ \sum^\infty_{k=0}\frac{1}{2(2k+1)-\mu}L^0_k(|z|^2)$$ converge
$$(*)\qquad \sum_{n\geq 0} t^nL_n(x) =\frac 1{1-t}e^{-\tfrac {tx}{1-t}}$$ Elle permet de comprendre ta série $\sum_{n\geq 0} \frac{L_n(x)}{n+a}$
(tu multiplies (*) par $t^{a-1}$ et tu intègres en 0 et 1 en t).
En intégrant on obtient le résultat désiré. Le membre qui est à droite est effectivement une représentation intégrale de la fonction $\Gamma(a)G(a,1,x)$ qui est dans $L^2(\R)$.
Il faut des justufcations pour permuter intégrale et somme.
On a aussi $$\Gamma(a)\psi\left( a,c,x\right)= e^x \int^1_0 \exp(-{x\over 1-t}) t^{a-1}(1-t)^{c-1}\in L^2(\Bbb R) $$
C'est une intégrale généralisée, pourquoi elle converge ? ( je précise $\forall x\ne 0,\, \forall a>0$)
floyd mayweather tu connais quoi comme théorème qui permet de permuter les deux trucs ?
Jlapin, si tu es capable montrer nous
Pour permuter ta série $\sum^\infty_{n=0} t^{n+a-1}L_n(x)$, $x,a >0$ et ton intégrale il suffit https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'interversion_série-intégrale de montrer que la série du terme général
$$\int_0^1 |t^{n+a-1}L_n(x)| dt$$ est convergente, on a
$\int_0^1 |t^{n+a-1}L_n(x)| dt=|L_n(x)|\int_0^1 t^{n+a-1} dt=\frac{|L_n(x)|}{n+a}$. J'espère que tu sais https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2382853/#Comment_2382853 que pour $x>0$, $|L_n(x)|\sim \frac c{n^{\frac 14}}$, $c>$0, donc la série $\sum^\infty_{n=0}\frac{|L_n(x)|}{n+a}$ est convergente (équivalente à une série de Riemann convergente).