Un isomorphisme d'anneaux

Oui, c'est pour ça que je me demandais s'il y avait une erreur, car ce n'est pas le même discriminant que celui habituellement défini...
Merci @raoul.S pour ce contre-exemple qui confirme que cela ne fonctionne pas avec cette valeur de $\Delta$. Je pense aussi, mais je vais m'y pencher pour tenter de le confirmer, que c'est plutôt un isomorphisme entre $K[X]/(P)$ et $K[X]/(X^2 - \frac{\Delta}{4})$. En tout cas, la suite de l'exercice peut être résolu avec cet isomorphisme :
- Si $\Delta = 0$, montrer que $P$ a une racine double puis qu'il y a un isomorphisme entre $K[X]/(P)$ et $K[X]/(X^2)$
- Si $\Delta$ est un carré de $K$, montrer que $P$ possède deux racines distinctes dans $K$ puis que $K[X]/(P)$ est isomorphe à $K \times K$.
- Si $\Delta$ n'est pas un carré, montrer que $P$ n'a pas de racines et que $K[X]/(P)$ est un corps (à ce stade du livre, la notion d'éléments irréductibles n'est pas connue, donc il faut procéder autrement).