Série entière jeudi 22 septembre

etanche · September 2022

Bonjour

Résoudre l’exercice 529 page 68-69 http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exolic1/exolic.pdf

On considère une série entière $\sum_{n\ge0}c_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$. Sa somme est notée $f(z)$.

Montrer que la série $\sum_{n\ge0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel [de $f$ ?].
Soit $r$ un réel vérifiant $0<r<R$. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ tel que \[\forall z\in\C,\quad \sup_{N\ge0}\left|\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!}z^n\right|\le P\bigl(|z|\bigr)+\exp\frac{|z|}r.\]On pourra considérer un entier $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$ on ait $|c_n|\le r^{-n}$.
Montrer que pour tout $z$ de $\C$ tel que $|z|<R$ on a \[f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t.\]

Merci

gebrane · September 2022

Bonjour @etanche
Qu'as tu fait ?

Math Coss · September 2022

Les deux premières questions semblent reposer sur la même clé, le lemme d'Abel. Pour la troisième, on développe $F$ en série entière (que faire d'autre ?) : le seul problème me semble être de justifier l'interversion de l'intégrale et de la somme, ce qui doit reposer sur l'inégalité de la question précédente ; pour conclure, $\int_0^\infty t^n\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t=n!$.

Suis-je trop optimiste / présomptueux ?

gebrane · September 2022

Personnellement, Je n'ai pas et je ne vais pas regarder la question car je ne la vois pas sous les yeux dans ce fil. Je déteste chercher une question dans un lien

Math Coss · September 2022

Voici l'énoncé.

On considère une série entière $\sum_{n\ge0}c_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$. Sa somme est notée $f(z)$.

Montrer que la série $\sum_{n\ge0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel [de $f$ ?].
Soit $r$ un réel vérifiant $0<r<R$. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ tel que \[\forall z\in\C,\quad \sup_{N\ge0}\left|\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!}z^n\right|\le P\bigl(|z|\bigr)+\exp\frac{|z|}r.\]On pourra considérer un entier $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$ on ait $|c_n|\le r^{-n}$.
Montrer que pour tout $z$ de $\C$ tel que $|z|<R$ on a \[f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t.\]

gebrane · September 2022

Merci compagnon MC.

gebrane · September 2022

Pour la premiere question, on peut me semble-il utiliser la règle de Cauchy, on calcule $\limsup_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{|c_n|}}{\sqrt[n]{n!}}$

La suite $\sqrt[n]{n!}$ tend vers $+\infty$ et la suite $\sqrt[n]{|c_n|}$est bornée. Donc cette limsup tend vers 0 et le rayon de convergence est infini

lale · September 2022

Si r est inférieur à R alors la suite $c_n r^n$ est bornée cela suffit pour conclure pour la première question

julian · September 2022

Pour être plus exact il faudrait rajouter un module à la suite cn.

Math Coss · September 2022

Non. Une suite de complexes bornée, c'est exactement une suite dont le module est borné (où, préciserai-je pour pinailler, le module d'une suite est la suite des modules des termes de ladite suite).

Positif · September 2022

1 ) Si $u < R(a) \wedge R(b) $ alors les deux séries $a_n u^n, b_n u^n $ convergent absolument, et leur somme aussi. ça marche , donc $R(a + b) \geq R(a) \wedge R(b)$ . Avec $b = -a$ on a $R(a+b) = \infty$

2 ) Comme $r < R$, $|c_n| . r^n $ tend vers $0$ et il existe un rang $N_0$ au delá duquel $|c_n| < r^{-n} $ ( car leur produit est plus petit que $1$ APCR ).

Soit maintenant $P(X) = \sum_{k = 0}^{N_0} \frac{ |c_k| X^k }{ k ! } $. Si $x > 0, x > R$ alors $x = r ( 1 + \alpha) = r \left( 1 + \frac{x - r }{r} \right) $ et $|F(x)| \leq P(x) + \sum_{n \geq N_0 } \frac{c_n r^n ( 1 + \alpha)^n }{n ! } \leq P(x) + \sum_{n \geq 0} \frac{(1 + \alpha)^n}{n!} = P(x) + \exp ( 1 + \alpha ) = P(x) + \exp( x / r) $ avec $\alpha = ( x - r ) / r )$. On peut utiliser $x$ le module de n'importe quelle quantité complexe.

3 ) intervertir somme et intégrale avec "Gamme d'Oyler"

gebrane · September 2022

Je suis d'accord avec @Math Coss pour la question 3, le point clé est l'égalité $\int_0^\infty t^n\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t=n!$

$\forall z\in D(0,R),\quad f(z)= \sum_{n=0}^\infty \int_{0}^\infty \frac{c_n}{n!}z^n t^n e^{-t}dt$ On peut permuter série et intégrale https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_d'interversion_série-intégrale , car $ \sum_{n=0}^\infty \int_{0}^\infty |\frac{c_n}{n!}z^n t^n e^{-t}|dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{|a_n z^n|}{n!} \int_0^\infty t^n e^{-t} dt=\sum_{n=0}^\infty |a_n z^n|<+\infty$, donc $f(z)=\int_{0}^\infty\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n}{n!}(zt)^ne^{-t}dt=\int_{0}^\infty F(tz)e^{-t}dt$