Série entière jeudi 22 septembre
Bonjour
Résoudre l’exercice 529 page 68-69 http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exolic1/exolic.pdf
On considère une série entière $\sum_{n\ge0}c_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$. Sa somme est notée $f(z)$.
Merci
Résoudre l’exercice 529 page 68-69 http://math.univ-lille1.fr/~bodin/exolic1/exolic.pdf
On considère une série entière $\sum_{n\ge0}c_nz^n$ de rayon de convergence $R>0$. Sa somme est notée $f(z)$.
- Montrer que la série $\sum_{n\ge0}\frac{c_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence infini. Sa somme notée $F(z)$ est appelée transformée de Borel [de $f$ ?].
- Soit $r$ un réel vérifiant $0<r<R$. Montrer qu'il existe un polynôme $P$ tel que \[\forall z\in\C,\quad \sup_{N\ge0}\left|\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n!}z^n\right|\le P\bigl(|z|\bigr)+\exp\frac{|z|}r.\]On pourra considérer un entier $n_0$ tel que pour tout $n>n_0$ on ait $|c_n|\le r^{-n}$.
- Montrer que pour tout $z$ de $\C$ tel que $|z|<R$ on a \[f(z)=\int_0^{+\infty}F(tz)\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}t.\]
Merci
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Réponses
Qu'as tu fait ?
La suite $\sqrt[n]{n!}$ tend vers $+\infty$ et la suite $\sqrt[n]{|c_n|}$est bornée. Donc cette limsup tend vers 0 et le rayon de convergence est infini