C'est plié !
Bonsoir,
$ABCD$ est un carré de côté $1$.
Si $M$ appartient à une zone n°6 (voir figure de droite), les médiatrices de $[MA]$, $[MB]$, $[MC]$ et $[MD]$ forment, avec les côtés du carré, un hexagone (si $M$ est dans une zone n°5 on obtient un pentagone).
À un point $M$ du carré j'associe l'aire $\mathcal{A}$ du polygone obtenu.
Déterminer les lignes de niveau de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi définie (à valeurs dans l'intervalle $[1/4,1/2]$), c'est-à-dire le lieu des points $M$ tels que $\mathcal{A}(M)=a$, pour $1/4 \leq a \leq 1/2$.
J'ai tracé approximativement la partie située dans une zone n°6 de deux de ces lignes de niveau en orange.
La figure provient du dernier numéro de la revue Tangente, qui consacre un dossier à la géométrie de l'origami.
$ABCD$ est un carré de côté $1$.
Si $M$ appartient à une zone n°6 (voir figure de droite), les médiatrices de $[MA]$, $[MB]$, $[MC]$ et $[MD]$ forment, avec les côtés du carré, un hexagone (si $M$ est dans une zone n°5 on obtient un pentagone).
À un point $M$ du carré j'associe l'aire $\mathcal{A}$ du polygone obtenu.
Déterminer les lignes de niveau de la fonction $\mathcal{A}$ ainsi définie (à valeurs dans l'intervalle $[1/4,1/2]$), c'est-à-dire le lieu des points $M$ tels que $\mathcal{A}(M)=a$, pour $1/4 \leq a \leq 1/2$.
J'ai tracé approximativement la partie située dans une zone n°6 de deux de ces lignes de niveau en orange.
La figure provient du dernier numéro de la revue Tangente, qui consacre un dossier à la géométrie de l'origami.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Pour calculer l'aire d'un tel triangle on peut utiliser la formule $base \times hauteur/2$. Si son utilisation oblige à calculer la hauteur on prend la méthode avec un déterminant. Au bout du compte on trouve que l'aire hexagonale est égale à :
$$\frac{x^{5} - x^{4} y + 2 x^{3} y^{2} - 2 x^{3} - 2 x^{2} y^{3} + 4 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y + x^{2} + x y^{4} - 5 x y^{2} + 4 x y - y^{5} + 4 y^{4} - 6 y^{3} + 4 y^{2} - y}{8 y \left(y - 1 \right) x \left(x - 1 \right)},$$ ce qui permet de tracer les lignes de niveau en tant que courbes implicites.
Mais on peut faire beaucoup mieux. On fait le changement de variable $y=x+t$ pour obtenir:
$-t^{5} - 4 \; t \; x^{4} - 8 \; t^{2} \; x^{3} - 8 \; t^{3} \; x^{2} - 4 \; t^{4} \; x - 8 \; a \; x \; \left(t + x \right) \; \left(x - 1 \right) \; \left(t + x - 1 \right) + 4 \; t^{4} + 8 \; x^{4} + 24 \; t \; x^{3} + 28 \; t^{2} \; x^{2} + 16 \; t^{3} \; x - 6 \; t^{3} - 16 \; x^{3} - 31 \; t \; x^{2} - 23 \; t^{2} \; x + 4 \; t^{2} + 9 \; x^{2} + 12 \; t \; x - t - x = 0, $où $a$ désigne l'aire à atteindre.
Il se trouve que cette équation de degré $4$ peut se ramener à une équation bicarrée, ce qui veut dire que ces lignes de niveau sont constructibles point par point à la règle et au compas
En effet, en posant $x=y-q/4q$, où $p=-8 a - 4 t + 8$ est le coefficient de $x^4$ dans cette dernière équation et $q=-8 t^{2} - 16 at + 16 a + 24t - 16$ celui de $x^3$, on arrive à : $$ 2 t^{4} + t^{3} + 4 a t^{2} - 3 t^{2} - 2 a+ 1-t^{5} - 2 a t^{4} + y^{2} \left(-8 t^{3} + 16 a t^{2} + 16 t^{2} + 16 a - 4 t - 12 \right) + y^{4} \left(-32 a - 16 t + 32 \right) = 0.$$ Bon dimanche, Ludwig
EDIT : $q/4p$ se simplifie : $q/p=2t-2$.
Voici l'équation de la courbe :$$\frac{x^{5} - x^{4} y + 2 x^{3}y^{2} - 2 x^{3} - 2x^{2} y^{3} + 4 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y + x^{2} + x y^{4} - 5 x y^{2} + 4 x y - y^{5} + 4y^{4} - 6 y^{3} + 4 y^{2} - y}{8 y\left(y - 1 \right) x \left(x - 1 \right)}=a.$$
Bonne fin de soirée, Ludwig
En remarquant que la droite d'équation $x+y=1$ est un axe de symétrie des courbes de niveau (*) on peut d'une part améliorer le rendu de la figure en traçant des graphes de fonction tournés de $45°$ autour de $O$. Et d'autre part se rendre compte que l'image de la droite orange par cette rotation est la droite $x=1/2$. Ce qui permet de déterminer la valeur du paramètre $t$ de la droite orange : $t= \frac{1}{2} \left(\sqrt{2} - 2 \right).$ Et alors l'équation $\Delta = 0$ permet de calculer la valeur de $a$ recherchée : $$a=\frac{1}{16} \left(13 \sqrt{2} - 8 \sqrt{3} + 9 \sqrt{6} - 20 \right).$$ J'ai mon oeuf au plat je peux prendre mon petit-déjeuner.
(*) Il aurait mieux valu prendre le carré formé des points $(1,0)$, $(0,1)$, $(-1,0)$ et $(0,-1)$, cela aurait simplifié les calculs..