Limite d'une fonction de R^2

eloua · September 2022

Bonjour à tous, j'ai un problème avec l'exercice suivant. comment on peut faire pour montrer ce résultat et merci d'avance.

Math Coss · September 2022

Tu peux commencer par montrer que la limite $\ell_\varphi=\lim_{x\to0}f(x,\varphi(x))$ ne dépend pas de la fonction $\varphi$. Le réel $L$ ainsi obtenu est un bon candidat pour être la limite de $f$.

ev · September 2022

Par contraposée ?

e.v.

eloua · September 2022

Math Coss a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2382519/#Comment_2382519

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Merci et comment on peut montrer que c'est la limite de $f(x,y)$ ?

eloua · September 2022

ev
Comment?

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

GaBuZoMeu · September 2022

"comment on peut montrer que c'est la limite de $f(x,y)$ ?"

Par contraposée ?

eloua · September 2022

GaBuZoMeu
je sais pas comment faire
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

ev · September 2022

Je suppose que $ f $ n'admet pas de limite en $ (0,0) $.

Soit $ L \in \R $. Tu sais que $ L $ n'est pas la limite de $ f $ en $ (0,0) $. Donc il existe un $ \varepsilon > 0 $ tel que pour tout $ \alpha > 0 $, il existe un couple $ (x,y) \in ]0,\alpha[\times]-\alpha,\alpha[ $ tel que $ \vert f(x,y) - L \vert > \varepsilon $.

En spécifiant $ \alpha := 1/n $ tu peux construire une suite $ (x_n,y_n)_n $ de points qui converge vers $ (0,0) $. En ayant soin de contraindre la suite $ (x_n)_n $ à être strictement décroissante, tu poses $ \varphi(x_n) := y_n $ et tu prolonges par $ \varphi(x) := x $ ailleurs.

e.v.

GaBuZoMeu · September 2022

@ev :

LaTeX est fait par des anglo saxons qui ne notent pas les intervalles ouverts avec des crochets dans le mauvais sens. Par conséquent, quand on écrit des formules avec des crochets dans le mauvais sens, ça devient à peu près illisible. Ça se répare avec des \left] et des \right[ :

$$(x,y) \in \left]0,\alpha\right[\times\left]-\alpha,\alpha\right[$$

C'est tout de même nettement mieux comme ça, non ?

Par ailleurs, je ne vois pas trop où tu vas si tu n'as pas pris la peine auparavant de montrer que tous les $f(x,\varphi(x))$ ont même limite $L$.