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Radicaux au numérateur

Modifié (18 Sep) dans Algèbre
Bonjour,

Connaissez-vous les manips pour transformer » $\frac{1}{1- \sqrt[3]{7}}$ pour qu'il n'y ait plus de radicaux au dénominateur ? Pour une racine carrée, je sais mais je n'arrive pas à faire « la même chose » pour une racine cubique $\sqrt[3]{}\ $.

Merci bien,

Réponses

  • On a $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ donc ça te suggère de multiplier numérateur et dénominateur par $1+7^{1/3}+7^{2/3}$.
  • Ok j'ai vu, on obtient $-6$ au dénumérateur.

    Et $a^3+b^3 = a^3-(-b)^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

  • On peut "penser Galois" et multiplier numérateur et dénominateur par $(1-j \sqrt[3]{7})(1-j^2\sqrt[3]{7})$. Sans surprise c'est la même chose, mais ça donne une idée de comment généraliser à l'inverse d'un nombre algébrique (non nul) quelconque.
  • Modifié (18 Sep)
    Oui en effet (le $j$ est la première racine cubique de l'unité).
  • Penser $j$ comme la première ou la septième racine cubique, ce n'est pas très galoisien : l'idée est au contraire que les racines primitives sont indiscernables et interchangeables.
  • Oui tu as raison, d'aulleurs, j'ai failli écrire, une racine cubique de l'unité.
  • Bonjour,

    Enfonçons le clou, comment tu traites 
    $$\frac{1}{3+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • J'aime bien cette question ! Cela dit je n'ai aucune idée pour y répondre. Je chercherais bien le polynôme minimal qui annule le dénominateur de la fraction, mais pour en faire quoi ? On peut écrire n'importe quoi au dénominateur comme somme de racines, n'est-ce pas ?
  • Ludwig  Laissons à la question son mystère, Ton idée du polynôme minimal est bien mais il y a bien d'autres méthodes 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • $3+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ est de degré $3$ sur $\Q$.
    Donc il suffit de multiplier en haut et en bas par le produit de ses conjugués qui sont $3+2j\sqrt[3]{2}+j^2\sqrt[3]{4}$ et $3+2j^2\sqrt[3]{2}+j\sqrt[3]{4}$.
    Cela donne $\dfrac 1{3+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}=\dfrac{5-4\sqrt[3]2+\sqrt[3]4}{11}$.
  • Et si on ne pense pas Galois ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • En posant $x=\sqrt[3]2$, on peut chercher $a,b,c\in\Q$ uniques tels que $\dfrac 1{3+2x+x^2}=a+bx+cx^2$, en résolvant un système.
  • On cherche une relation de Bézout $U(x)(3+2x+x^2)+V(x)(x^3-2)=1$ et l'inverse est $U(2^{1/3})$.
  • Modifié (20 Sep)
    Bonjour
    la première réponse de "gai requin" est bonne : après vérification numérique
    on trouve en effet 0,140701532....au premier membre et au second membre
    par contre la seconde méthode qui paraît plus simple avec x réel et le triplet (a, b, c) éléments de Q 
    n'est pas opérationnelle et ne permet pas de répondre
    chapeau tout de même !
    Cordialement
  • Modifié (20 Sep)
    Bonjour,

    Ben si, Jean Lismonde, la seconde méthode permet de répondre:
    clear all, clc
    
    syms a b c x real
    
    p=(3+2*x+x^2)*(a+b*x+c*x^2)-1;
    p=collect(p,x);
    p=subs(p,[x^4 x^3],[2*x 2]);
    p=collect(p,x)
    
    % On trouve (a+2*b+3*c)*x^2 + (2*a+3*b+2*c)*x + (3*a+2*b+4*c-1) donc:
    
    M=[1 2 3; 2 3 2; 3 2 4]; B=[0; 0; 1]; 
    D=det(M)  % On trouve D=-11
    S=D*(M\B) % On trouve S=[-5; 4; -1]
    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: Ça peut se faire à la main, mais j'avais la flemme.
  • Modifié (20 Sep)
    Pour la méthode 2 de @gai requin on peut utiliser des divisions Euclidiennes au lieu de résoudre un système : on divise $x^3-2$ par $x^2 + 2 x + 3$ 
    $x^3 - 2 = (x - 2)(x^2 + 2 x + 3) + x + 4$ donne $\frac{x^{3}-2}{3+2 x+ x^{2}}=\left( x-2+\frac{x+4}{3 x^{2}+2 x+1}\right)$, mais n'oublions pas que GR a posé $x=\sqrt[3]2$ donc $x-2+\frac{x+4}{3 x^{2}+2 x+1}=0$ et on tire $\frac{1}{3+2 x+ x^{2}}=(- x+2) \cdot \frac{1}{x+4}$ On peut calculer 
    $\frac{1}{x+4}=\frac{1}{\sqrt[3]2+4}$ par la méthode qu'on veut, mais personnellement je préfère utiliser une division Euclidienne: on divise $x^3-2$ par $x+4$. On obtient $0= x^3 - 2 = (x^2 - 4 x + 16)(x + 4)  -66$ d'où on en tire $\frac{1}{x+4}=\frac 1{66}(x^2 - 4 x + 16)$ c'est-à-dire 
    $\frac{1}{3+2 x+ x^{2}}=(- x+2) \cdot \frac 1{66}(x^2 - 4 x + 16)$, il suffit de remplacer x par $\sqrt[3]2$

    Pour la méthode de JLT , on peut utiliser l'algorithme d'Euclid 
    \begin{pmatrix} 3+2x+x^2 & x^3-2\\1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} ...
    D'autres méthodes à partager ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Hum intéressant, merci pour vos réponses.
  • Modifié (21 Sep)
    Puisque tu as compris les mystères de la rationalisation, traite ce cas $\ \dfrac{1}{1+\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (22 Sep)
    Bonsoir,

    @Gebrane, voilà:
    clear all, clc
    
    syms a b c d e f g h j x y real % x=sqrt3(3) et y=sqrt3(2)
    
    p=(1+x+y)*(a+b*x+c*y+d*x^2+e*y^2+f*x*y+g*x^2*y+h*x*y^2+j*x^2*y^2)-1;
    p=collect(p,[x y]);
    p=subs(p,[x^3 y^3],[3 2]);
    p=collect(p,[x y])
    
    % On trouve:
    % (g + h + j)*x^2*y^2 + (d + f + g)*x^2*y + (b + d + 2*j)*x^2 
    % + (e + f + h)*x*y^2 + (b + c + f)*x*y + (a + b + 2*h)*x 
    % + (c + e + 3*j)*y^2 + (a + c + 3*g)*y + (a + 3*d + 2*e - 1) 
    % donc:
    
    M=[0 0 0 0 0 0 1 1 1; 0 0 0 1 0 1 1 0 0; 0 1 0 1 0 0 0 0 2; 
       0 0 0 0 1 1 0 1 0; 0 1 1 0 0 1 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 2 0; 
       0 0 1 0 1 0 0 0 3; 1 0 1 0 0 0 3 0 0; 1 0 0 3 2 0 0 0 0]; 
    % M est à mettre sur une seule ligne
    B=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1]; 
    D=det(M)  % On trouve D=54
    S=D*(M\B) % On trouve S=[-18; 0; 18; 18; 9; -18; 0; 9; -9]
    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (21 Sep)
    @Rescassol
    Bonjour, peux-tu écrire en propre les 7 termes que tu trouves ?
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Bonsoir,

    $\dfrac{-16-9x+24y+18x^2+2y^2-15xy-3x^2y+12xy^2-9x^2y^2}{45}$
    avec $x=\sqrt[3]{3}$ et $y=\sqrt[3]{2}$

    Cordialement,
    Rescassol

  • Je n'aime pas ce premier terme $\frac {-16}{45}$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (22 Sep)
    Bonsoir,

    Une petite faute de frappe, j'ai corrigé le code, ce qui donne:
    $\dfrac{-18+18y+18x^2+9y^2-18xy+9xy^2-9x^2y^2}{54}$

    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: J'ai re-corrigé, il semble qu'il y ait encore une erreur, plus le temps, on verra cet AM.

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