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Bibix · September 2022

Par exemple, imagine que tu cherches à savoir si une solution maximale $u$ au problème (pour $f \in C^0(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+, \mathbb{R})$),

$$\begin{cases} & y'(t) =f(y(t),t) \\ & y(0) = y_0 \end{cases}$$ est en fait globale (définie sur tout l'intervalle $I$). Une méthode classique est de trouver une fonction $\omega$ telle que $\omega'(t) > f(\omega(t),t)$ presque partout. Ensuite, un théorème de la barrière (parmi d'autres) donne que $\forall t \in I, \omega(t) > u(t)$ ce qui permet de dire que $u$ est définie sur $I$. Mais j'ai vraiment l'impression que le cas discret complique énormément les choses, notamment car la continuité est importante... . Je pense que c'est à écarter, mais comme il n'y a pas d'autres pistes, peut-être qu'on peut creuser dans le doute.

Boécien · September 2022

Merci Bibix. Sinon je viens de résoudre (sauf erreur) un cas particulier "trivial" en continuant sur l'idée de généraliser avec des coefficients cette fois pas forcément tous positifs.

Soit $\left(u_{1},u_{2}\right)=(1,1)$ et $$u_{n}=\frac{2u_{n-1}-u_{n-2}+n}{\gcd\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)}$$ alors on peut vérifier que pour $n\geq8$ on a $u_{n}=P(n)$, avec

$$P(n)=\frac{1}{6}n^{3}-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{290}{3}n-755$$ et donc $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ converge bien vers $1$ la plus grande racine réelle de $x^{2}-2x+1$.
À noter que $\left(P(n-1),P(n-2)\right)=1$ sauf pour $n=9k+5$ pour lequel $\left(P(9k+4),P(9k+3)\right)=3\Rightarrow\left(P(9k+4),P(9k+3),9k+5\right)=1$
Donc pour tout $n$ on a $\left(P(n-1),P(n-2),n\right)=1$.

En général si $\left(u_{1},u_{2}\right)\in\left(\mathbb{N^{\star}}\right)^{2}$ alors il semble que

$$u_{n}=\frac{2u_{n-1}-u_{n-2}+n}{\gcd\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)}$$

peut s'exprimer pour $n\geq n_{0}$ sous la forme $u_{n}=\frac{n^{2}}{6}\left(n-3\right)+\alpha n+\beta$.

lourrran · September 2022

Au dénominateur, on a pgcd des 3 termes. Si on prend simplement $pgcd(u_{n-1},u_{n-2})$ , ou bien $pgcd(u_{n-1},n)$, est-ce que ça change les résultats.
Si par miracle, les résultats restent les mêmes, on a un peu simplifié le problème.

Boécien · September 2022

J'avais essayé cette idée. Le premier cas amène à des trivialités le second à des choses (très) difficiles à cerner.

Boécien · September 2022

Une contribution sur MSE tend à infirmer le fait que le pgcd soit égal à 1 à partir d'un certain rang en s'appuyant sur une conjecture plus plausible.

gebrane · September 2022

As-tu lu et compris la réponse ?
Pauvre Jane a perdue 50pts de réputation
Vas-tu accepter cette réponse ?

Boécien · September 2022

J'ai lu et je comprends surtout la partie heuristique à la fin. Je suis en train d'essayer de comprendre son premier message. Je pense que noix de totos s'il passe par là pourrait nous éclairer.

Sacrée Jane, comment faire pour que je lui redonne ces 50 pts

gebrane · September 2022

Je viens de lire , très difficile . On demande la présence

de @noix de totos dans ce fil pour nous expliquer cette réponse https://math.stackexchange.com/questions/4532308/behaviour-of-u-n-fracu-n-1u-n-2n-gcd-leftu-n-1-u-n-2-n-right

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