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Variable positive intégrable implique et série convergente

MatisseRMatisseR
Modifié (September 2022) dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,
Soit X est une variable aléatoire positive.
 Je veux montrer que si X est intégrable sur R+ alors la série de terme général P(X>n) est convergente.
J'ai essayé d'utiliser une comparaison série intégrale mais le calcul me ramène à montrer que F(t)-1 est integrable, avec F la fonction caractéristique...
Tout indice est le bienvenu, merci d'avance.
Bien cordialement.

Réponses

  • PositifPositif
    Modifié (September 2022)
    Fait un tableau où tu ranges les $\mathbf{P}(X \in [k, k+1[)$ et tu vas comprendre .
    ---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • PoirotPoirot
    Par le théorème de Fubini-Tonelli ou celui de convergence monotone, on a $$\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb P(X > n) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\Omega} \mathbb 1_{X > n} \mathrm{d} \mathbb P = \int_{\Omega} \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb 1_{X > n} \mathrm{d} \mathbb P \leq \int_{\Omega} \left \lfloor X \right \rfloor \mathrm{d} \mathbb P \leq \int_{\Omega} X \,\mathrm{d} \mathbb P < +\infty.$$


  • MatisseRMatisseR
    Merci à tous les deux ! J'ai commencé comme ce qu'a fait Poirot mais j'étais bloqué au moment de la majoration par la partie entière...
    à bientôt
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