Variable positive intégrable implique et série convergente

Par le théorème de Fubini-Tonelli ou celui de convergence monotone, on a $$\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb P(X > n) = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{\Omega} \mathbb 1_{X > n} \mathrm{d} \mathbb P = \int_{\Omega} \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb 1_{X > n} \mathrm{d} \mathbb P \leq \int_{\Omega} \left \lfloor X \right \rfloor \mathrm{d} \mathbb P \leq \int_{\Omega} X \,\mathrm{d} \mathbb P < +\infty.$$