Limite d'une fonction de R^2
Réponses
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Tu peux commencer par montrer que la limite $\ell_\varphi=\lim_{x\to0}f(x,\varphi(x))$ ne dépend pas de la fonction $\varphi$. Le réel $L$ ainsi obtenu est un bon candidat pour être la limite de $f$.
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Par contraposée ?e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
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Math Coss a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2382519/#Comment_2382519[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
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ev
Comment?[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD] -
"comment on peut montrer que c'est la limite de $f(x,y)$ ?"Par contraposée ?
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Je suppose que \( f \) n'admet pas de limite en \( (0,0) \).Soit \( L \in \R \). Tu sais que \( L \) n'est pas la limite de \( f \) en \( (0,0) \). Donc il existe un \( \varepsilon > 0 \) tel que pour tout \( \alpha > 0 \), il existe un couple \( (x,y) \in ]0,\alpha[\times]-\alpha,\alpha[ \) tel que \( \vert f(x,y) - L \vert > \varepsilon \).En spécifiant \( \alpha := 1/n \) tu peux construire une suite \( (x_n,y_n)_n \) de points qui converge vers \( (0,0) \). En ayant soin de contraindre la suite \( (x_n)_n \) à être strictement décroissante, tu poses \( \varphi(x_n) := y_n \) et tu prolonges par \( \varphi(x) := x \) ailleurs.e.v.
Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
@ev :LaTeX est fait par des anglo saxons qui ne notent pas les intervalles ouverts avec des crochets dans le mauvais sens. Par conséquent, quand on écrit des formules avec des crochets dans le mauvais sens, ça devient à peu près illisible. Ça se répare avec des \left] et des \right[ :$$(x,y) \in \left]0,\alpha\right[\times\left]-\alpha,\alpha\right[$$C'est tout de même nettement mieux comme ça, non ?Par ailleurs, je ne vois pas trop où tu vas si tu n'as pas pris la peine auparavant de montrer que tous les $f(x,\varphi(x))$ ont même limite $L$.
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