Application linéaire non continue ?

egoroff · December 2007

Pas de souci, c'est un échange plutôt agréable. Euh par contre je ne comprends pas du tout on dernier message ? c'est une définition, une constatation ?

lafauche3 · December 2007

Heuu... je voulais dire ||.||sup/n^(1/2) avec n degré de p, est ce cela?

oumpapah · December 2007

Bonsoir Egoroff,

Pour avoir la dérivée continue dans $\R[X]$ normé, il suffit de prendre, par ex, pour norme du polynôme $P$ dont les coeff sont les $a_k$, la somme des $k!|a_k|$.
La dérivée est alors continue et de norme fonctionnelle 1.
Mézalor on a perdu la continuité de $P \mapsto XP$.

C'est normal vu le petit exo, classique, suivant :
Dans $E$ normé, si $u$ et $v$ sont deux endomorphismes tels que $v\circ u-u\circ v=\mathrm{Id}$
alors $u$ et $v$ ne peuvent être tous deux continus.

Application : dans $\R[X]$ on prend $u: P \mapsto XP$ et $v: P \mapsto P{'} $,
on a $v\circ u-u \circ v=\mathrm{Id}$.
Par suite pour n'importe quelle norme, au moins l'un des deux endos n'est pas continu... D'où...

(d'ou viennent ces bestioles vertes ?)
[:~P est interprété comme le smiley :P. En LaTeX, il n'y parait plus

AD]

le barbant raseur · December 2007

: P est interprété comme un smiley... On n'arrête pas le progrès :P

jm baucry · September 2022

L'endomorphisme F de R[X] défini par F(P)=XP'+P est linéaire mais non continue, pour la norme sup. Elle est en outre bijective et sa réciproque, elle, est continue.

Elle réalise une bijection de l'espace des polynômes pairs ( resp impairs) sur lui même.

On peut alors définir l'endomorphisme G de R[X] qui à un polynôme pair P associe l'antécédent de P par F, et à un polynôme P impair lui associe son image par F, et bien sûr à un polynôme quelconque qui s'écrit A+B avec A pair et B impair associe G(A)+G(B)

G est un automorphisme, ni lui ni sa réciproque ne sont continues... me semble t-il

JM Baucry

Poirot · September 2022

Je ne suis pas certain que l'auteur de ce fil compte revenir lire ta réponse presque 15 ans après qu'il ait posé sa question...

jm baucry · September 2022

Bah oui mais j'ai mis du temps pour le trouver !

Plus simplement on peut définir G par son action sur la base canonique ( il existe une et une seule application linéaire qui transforme une base donnée en une famille donnée de vecteurs...):

G(X^n)=X^n/n+1 si n est pair, nX^n sinon. C'est comme àça que je l'ai trouvée. Le déguisement que je lui avais trouvé relève d'une démarche pédagogiquement vicieuse !

jm Baucry