Radicaux au numérateur
Bonjour,
Connaissez-vous les manips pour transformer » $\frac{1}{1- \sqrt[3]{7}}$ pour qu'il n'y ait plus de radicaux au dénominateur ? Pour une racine carrée, je sais mais je n'arrive pas à faire « la même chose » pour une racine cubique $\sqrt[3]{}\ $.
Merci bien,
Connaissez-vous les manips pour transformer » $\frac{1}{1- \sqrt[3]{7}}$ pour qu'il n'y ait plus de radicaux au dénominateur ? Pour une racine carrée, je sais mais je n'arrive pas à faire « la même chose » pour une racine cubique $\sqrt[3]{}\ $.
Merci bien,
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Réponses
Et $a^3+b^3 = a^3-(-b)^3= (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Enfonçons le clou, comment tu traites
$$\frac{1}{3+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$$
Donc il suffit de multiplier en haut et en bas par le produit de ses conjugués qui sont $3+2j\sqrt[3]{2}+j^2\sqrt[3]{4}$ et $3+2j^2\sqrt[3]{2}+j\sqrt[3]{4}$.
Cela donne $\dfrac 1{3+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}=\dfrac{5-4\sqrt[3]2+\sqrt[3]4}{11}$.
la première réponse de "gai requin" est bonne : après vérification numérique
Cordialement
Ben si, Jean Lismonde, la seconde méthode permet de répondre:
Cordialement,
Rescassol
Edit: Ça peut se faire à la main, mais j'avais la flemme.
$x^3 - 2 = (x - 2)(x^2 + 2 x + 3) + x + 4$ donne $\frac{x^{3}-2}{3+2 x+ x^{2}}=\left( x-2+\frac{x+4}{3 x^{2}+2 x+1}\right)$, mais n'oublions pas que GR a posé $x=\sqrt[3]2$ donc $x-2+\frac{x+4}{3 x^{2}+2 x+1}=0$ et on tire $\frac{1}{3+2 x+ x^{2}}=(- x+2) \cdot \frac{1}{x+4}$ On peut calculer
$\frac{1}{x+4}=\frac{1}{\sqrt[3]2+4}$ par la méthode qu'on veut, mais personnellement je préfère utiliser une division Euclidienne: on divise $x^3-2$ par $x+4$. On obtient $0= x^3 - 2 = (x^2 - 4 x + 16)(x + 4) -66$ d'où on en tire $\frac{1}{x+4}=\frac 1{66}(x^2 - 4 x + 16)$ c'est-à-dire
$\frac{1}{3+2 x+ x^{2}}=(- x+2) \cdot \frac 1{66}(x^2 - 4 x + 16)$, il suffit de remplacer x par $\sqrt[3]2$
Pour la méthode de JLT , on peut utiliser l'algorithme d'Euclid
\begin{pmatrix} 3+2x+x^2 & x^3-2\\1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} ...
D'autres méthodes à partager ?
@Gebrane, voilà:
Bonjour, peux-tu écrire en propre les 7 termes que tu trouves ?
Cordialement,
Rescassol
Une petite faute de frappe, j'ai corrigé le code, ce qui donne:
$\dfrac{-18+18y+18x^2+9y^2-18xy+9xy^2-9x^2y^2}{54}$
Cordialement,
Rescassol
Edit: J'ai re-corrigé, il semble qu'il y ait encore une erreur, plus le temps, on verra cet AM.