Comportement asymptotique — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Comportement asymptotique

Bonjour à toutes et tous, 

On fixe $x, y \in [0, \, 2\pi]$. J'aimerais calculer le comportement asymptotique de la double somme suivante lorsque $k \to + \infty$ : 
$$\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(m^2 + n^2)^{1+1/k}} \sin^2\left(\frac{xm}{2}\right) \sin^2\left(\frac{yn}{2}\right) .$$

Mon intuition me dit que ça devrait se comporter comme $\sum_{n=1}^\infty \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(m^2 + n^2)^{1+1/k}}$ (pour qui une comparaison série-intégrale suffit), à un facteur multiplicatif près dépendant de $(x,y)$, mais je manque un peu d'expérience pour ce genre de calcul. 

Mon idée principale est de développer les $sin^2$ pour obtenir une série de Fourier, puis d'utiliser la formule sommatoire de Poisson, mais je ne crois pas que l'on soit en mesure de calculer la transformée de Fourier de la fonction $(x,y) \mapsto \frac{1}{(x^2 + y^2)^{1+1/k}}$ (si je me restreint à une seule dimension ça voudrait dire qu'on est capable de donner la valeur de $\zeta(s)$ pour des rationnels de la forme $s= 2 + 2/k$ et ce n'est pas le cas). 

Est-ce que quelqu'un aurait une idée ? 

Réponses

  • Modifié (19 Sep)
    Bonjour,
    une idée : $\sin^2(x) \leqslant 1$. Comme tout est positif, ça marche pour la majoration.
    Une autre idée pour faire plus préçis : $\forall x \in \mathbb{R}_+, \sin^2(x) \leqslant (x - \lfloor \frac{x}{\pi} \rfloor \pi)^2$
  • Merci, mais je pense que la majoration est trop grossière pour pouvoir obtenir un équivalent. 
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!