Problème de compréhension du problème P vs NP

Bonjour,
dans l'énoncé disponible ici : https://www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf,
quelqu'un pourrait-il me dire, même si cela pourrait paraître évident :
- pourquoi, à la deuxième page, lors de la définition de NP, il n'y a pas d'ensemble dactylographié dans lequel $y$ est inclus, juste après le $\exists y$, à cette ligne: $w \in L \Leftrightarrow \exists y (\vert y \vert < \vert w \vert ^k \text{ and } R(w,y))~$ ?
- quel est/serait cet ensemble, en lien avec la définition donnée de NP dans cet énoncé ?
Cordialement, et merci d'avance !