Pour le problème indiqué par gebrane, soit $d$ le déterminant de $P$ et $Q={}^t\mathrm{Com}(P)$. Alors $P^{-1}=\frac{1}{d}Q$ donc $(PAP^{-1})^k=d^{-1}PA^kQ$. Or $GL_n(\Z/d\Z)$ est un groupe fini donc il existe $k$ tel que $A^k=I\pmod{d}$ et on a alors $PA^kQ\equiv PQ\equiv d\equiv 0\pmod{d}$ donc $d^{-1}PA^kQ\in M_n(\Z)$.
Se donner une matrice inversible, c'est se donner une base de $\mathbf{F}_p^n$ – l'image de la base canonique, i.e. les colonnes de la matrice.
On choisit un vecteur $e_1$ non nul dans $\mathbf{F}_p^n$ ; puis un vecteur $e_2$ hors de la droite engendrée par $e_1$ ; puis un vecteur $e_3$ hors du plan engendré par $(e_1,e_2)$ ; etc. ; enfin un vecteur $e_n$ hors du sev engendré par $(e_1,\dots,e_{n-1})$. On a alors une base de $\mathbf{F}_p^n$.
Ah ok merci, on a $p^n -1$ choix pour le premier élément de la base et $p^n-1-(p-1)$ choix pour le deuxième s. car il ne doit pas appartenir au s.e engendré par le premier , ainsi de suite ( coquille corrigée)
Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane
Voilà. Tu pourras t'amuser à écrire une démonstration complète où le produit est justifié par autre chose que de grands moulinets des bras ou de la langue...
Si l'on veut une rédaction simple du calcul du cardinal, on peut faire agir le groupe sur $(\Z/p\Z)^n\setminus\{0\}$ puis dénombrer le stabilisateur du premier vecteur de la base canonique (il n'y a qu'une orbite).
@Math Coss Bonjour, Je ne vois d'arnaque dont ce que j'ai dit mais je laisse nos lecteurs en juger. les vecteurs colonne d'une matrice inversible forment une base., donc un élément de $GL_n({\mathbb Z}/{p\mathbb Z})$ correspond à une base de l'espace vectoriel $({\mathbb Z}/{p\mathbb Z})^n$ Je Choisis le premier élément de la base qui doit être non nul donc $p^n-1$ possibilités et ainsi de suite pour le choix des autres
Citation : En mathématiques, mon bonheur est souvent un multiple de l'humour et de la persévérance ! 📐➕😄 Gebrane
Réponses
$$A^n = \begin{pmatrix} n+1 & n\omega\\ -\frac{n}{w} & 1- n\end{pmatrix}.$$
En écrivant $|w|=\frac a b$ ($a$ et $b$ entiers naturels non nuls), je pose $n = ab$ et je pense que $A^n \in M_2(\mathbb{Z})$.
voir le livre contest in higher mathematics by Gabor Szekely, édition Springer.
$A^s=\begin{pmatrix}s+1&sw\\\frac{-s}w&1-s\end{pmatrix}$
Cordialement,
Rescassol
Edit: Oups, je n'avais pas vu qu'autant de gens avaient répondu, j'arrive après la bataille ...
Une question ( j'ai dû l'oublier) c'est quoi le cardinal de $GL_{n}\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)$
👍