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Matrice M(2,Z) dimanche 18 septembre

Modifié (18 Sep) dans Algèbre
Bonjour 
$w \in \Q^{*}$, on note $A$ la matrice $2\times2$ avec $a_{11}=2,\ a_{12}=w,\ a_{21}=\frac{-1}{w},\ a_{22}=0$ : $A=\begin{pmatrix}2&w\\\frac{-1}w&0\end{pmatrix}$.
Montrer qu’il existe $s \in \N^{*}$ tel que $A^{s} \in M_2(\Z)$ 
Merci 

Réponses

  • Les puissances de $A$ se calculent facilement comme combinaison linéaire de $I$ et $A$.
  • Modifié (19 Sep)
    Sauf erreur de ma part, pour $n\in \mathbb{N}^*$,
    $$A^n = \begin{pmatrix} n+1 & n\omega\\ -\frac{n}{w} & 1- n\end{pmatrix}.$$

    En écrivant $|w|=\frac a b$ ($a$ et $b$ entiers naturels non nuls), je pose $n = ab$ et je pense que $A^n \in M_2(\mathbb{Z})$.
  • Modifié (18 Sep)
    Source la prochaine fois.
    Merci

    PS :  je ne suis pas Roger Mansuy :)
  • Modifié (18 Sep)
    On remarque que $A$ est une matrice unipotente de $SL_2(\Q)$, que sait-on sur les matrices unipotentes de $SL_2(\Q)$ ? 
  • Merci Roger Mansury pour la référence , je trouve aussi intéressante ta question ci-jointe


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    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (18 Sep)
    @ gebrane le problème ci-dessus 20h48 est Miklos Schweitzer maths competition 1980 problème 4 
    voir le livre contest in higher mathematics by Gabor Szekely, édition Springer. 
  • Modifié (18 Sep)
    Bonsoir,

    $A^s=\begin{pmatrix}s+1&sw\\\frac{-s}w&1-s\end{pmatrix}$

    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: Oups, je n'avais pas vu qu'autant de gens avaient répondu, j'arrive après la bataille ...

  • Pour le problème indiqué par gebrane, soit $d$ le déterminant de $P$ et $Q={}^t\mathrm{Com}(P)$. Alors $P^{-1}=\frac{1}{d}Q$ donc $(PAP^{-1})^k=d^{-1}PA^kQ$. Or $GL_n(\Z/d\Z)$ est un groupe fini donc il existe $k$ tel que $A^k=I\pmod{d}$ et on a alors $PA^kQ\equiv PQ\equiv d\equiv 0\pmod{d}$ donc $d^{-1}PA^kQ\in M_n(\Z)$.
  • Waw , c'est beau les mathématiques de certains 

    Une question ( j'ai dû l'oublier) c'est quoi le cardinal de $GL_{n}\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • C'est $(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{n-1})$.
    Se donner une matrice inversible, c'est se donner une base de $\mathbf{F}_p^n$ – l'image de la base canonique, i.e. les colonnes de la matrice.
    On choisit un vecteur $e_1$ non nul dans $\mathbf{F}_p^n$ ; puis un vecteur $e_2$ hors de la droite engendrée par $e_1$ ; puis un vecteur $e_3$ hors du plan engendré par $(e_1,e_2)$ ; etc. ; enfin un vecteur $e_n$ hors du sev engendré par $(e_1,\dots,e_{n-1})$. On a alors une base de $\mathbf{F}_p^n$.


  • Modifié (19 Sep)
    Ah ok merci,     on a $p^n -1$ choix pour le premier élément de la base et $p^n-1-(p-1)$ choix pour le deuxième s. car il ne doit  pas appartenir au s.e engendré par le premier ,  ainsi de suite  ( coquille corrigée)
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Voilà. Tu pourras t'amuser à écrire une démonstration complète où le produit est justifié par autre chose que de grands moulinets des bras ou de la langue...
  • Le produit que tu contestes est un classique en dénombrement . 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Si l'on veut une rédaction simple du calcul du cardinal, on peut faire agir le groupe sur $(\Z/p\Z)^n\setminus\{0\}$ puis dénombrer le stabilisateur du premier vecteur de la base canonique (il n'y a qu'une orbite).
  • Modifié (19 Sep)
    @Math Coss   Bonjour,  Je ne vois d'arnaque dont ce que j'ai dit mais je laisse nos lecteurs en juger.   les vecteurs colonne d'une matrice inversible forment une base., donc un élément de $GL_n({\mathbb Z}/{p\mathbb Z})$ correspond à une base de l'espace vectoriel $({\mathbb Z}/{p\mathbb Z})^n$ Je Choisis le premier élément de la base qui doit être non nul donc  $p^n-1$ possibilités et ainsi de suite pour le choix des autres 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Exo : déterminer le cardinal de $GL_n(\Z/p^k\Z)$ pour $p$ premier et $k$ entier naturel non nul.
  • $|GL_n(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})| = p^{(k-1)n^2}|GL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})| $
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    Citation :  Je suis Jack 
  • 👍


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