Matrice M(2,Z) dimanche 18 septembre

etanche
etanche
Modifié (September 2022) dans Algèbre
Bonjour 
$w \in \Q^{*}$, on note $A$ la matrice $2\times2$ avec $a_{11}=2,\ a_{12}=w,\ a_{21}=\frac{-1}{w},\ a_{22}=0$ : $A=\begin{pmatrix}2&w\\\frac{-1}w&0\end{pmatrix}$.
Montrer qu’il existe $s \in \N^{*}$ tel que $A^{s} \in M_2(\Z)$ 
Merci 

Réponses

  • JLT
    JLT
    Les puissances de $A$ se calculent facilement comme combinaison linéaire de $I$ et $A$.
  • jean-éric
    jean-éric
    Modifié (September 2022)
    Sauf erreur de ma part, pour $n\in \mathbb{N}^*$,
    $$A^n = \begin{pmatrix} n+1 & n\omega\\ -\frac{n}{w} & 1- n\end{pmatrix}.$$

    En écrivant $|w|=\frac a b$ ($a$ et $b$ entiers naturels non nuls), je pose $n = ab$ et je pense que $A^n \in M_2(\mathbb{Z})$.
  • JLapin
    JLapin
    Modifié (September 2022)
    Source la prochaine fois.
    Merci

    PS :  je ne suis pas Roger Mansuy :)
  • etanche
    etanche
    Modifié (September 2022)
    On remarque que $A$ est une matrice unipotente de $SL_2(\Q)$, que sait-on sur les matrices unipotentes de $SL_2(\Q)$ ? 
  • gebrane
    gebrane
    Merci Roger Mansury pour la référence , je trouve aussi intéressante ta question ci-jointe


    Le 😄 Farceur


  • etanche
    etanche
    Modifié (September 2022)
    @ gebrane le problème ci-dessus 20h48 est Miklos Schweitzer maths competition 1980 problème 4 
    voir le livre contest in higher mathematics by Gabor Szekely, édition Springer. 
  • Rescassol
    Rescassol
    Modifié (September 2022)
    Bonsoir,

    $A^s=\begin{pmatrix}s+1&sw\\\frac{-s}w&1-s\end{pmatrix}$

    Cordialement,
    Rescassol

    Edit: Oups, je n'avais pas vu qu'autant de gens avaient répondu, j'arrive après la bataille ...

  • JLT
    JLT
    Pour le problème indiqué par gebrane, soit $d$ le déterminant de $P$ et $Q={}^t\mathrm{Com}(P)$. Alors $P^{-1}=\frac{1}{d}Q$ donc $(PAP^{-1})^k=d^{-1}PA^kQ$. Or $GL_n(\Z/d\Z)$ est un groupe fini donc il existe $k$ tel que $A^k=I\pmod{d}$ et on a alors $PA^kQ\equiv PQ\equiv d\equiv 0\pmod{d}$ donc $d^{-1}PA^kQ\in M_n(\Z)$.
  • gebrane
    gebrane
    Waw , c'est beau les mathématiques de certains 

    Une question ( j'ai dû l'oublier) c'est quoi le cardinal de $GL_{n}\left(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right)$
    Le 😄 Farceur


  • Math Coss
    Math Coss
    C'est $(p^n-1)(p^n-p)\cdots(p^n-p^{n-1})$.
    Se donner une matrice inversible, c'est se donner une base de $\mathbf{F}_p^n$ – l'image de la base canonique, i.e. les colonnes de la matrice.
    On choisit un vecteur $e_1$ non nul dans $\mathbf{F}_p^n$ ; puis un vecteur $e_2$ hors de la droite engendrée par $e_1$ ; puis un vecteur $e_3$ hors du plan engendré par $(e_1,e_2)$ ; etc. ; enfin un vecteur $e_n$ hors du sev engendré par $(e_1,\dots,e_{n-1})$. On a alors une base de $\mathbf{F}_p^n$.


  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2022)
    Ah ok merci,     on a $p^n -1$ choix pour le premier élément de la base et $p^n-1-(p-1)$ choix pour le deuxième s. car il ne doit  pas appartenir au s.e engendré par le premier ,  ainsi de suite  ( coquille corrigée)
    Le 😄 Farceur


  • Math Coss
    Math Coss
    Voilà. Tu pourras t'amuser à écrire une démonstration complète où le produit est justifié par autre chose que de grands moulinets des bras ou de la langue...
  • gebrane
    gebrane
    Le produit que tu contestes est un classique en dénombrement . 
    Le 😄 Farceur


  • john_john
    john_john
    Si l'on veut une rédaction simple du calcul du cardinal, on peut faire agir le groupe sur $(\Z/p\Z)^n\setminus\{0\}$ puis dénombrer le stabilisateur du premier vecteur de la base canonique (il n'y a qu'une orbite).
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2022)
    @Math Coss   Bonjour,  Je ne vois d'arnaque dont ce que j'ai dit mais je laisse nos lecteurs en juger.   les vecteurs colonne d'une matrice inversible forment une base., donc un élément de $GL_n({\mathbb Z}/{p\mathbb Z})$ correspond à une base de l'espace vectoriel $({\mathbb Z}/{p\mathbb Z})^n$ Je Choisis le premier élément de la base qui doit être non nul donc  $p^n-1$ possibilités et ainsi de suite pour le choix des autres 
    Le 😄 Farceur


  • JLT
    JLT
    Exo : déterminer le cardinal de $GL_n(\Z/p^k\Z)$ pour $p$ premier et $k$ entier naturel non nul.
  • gebrane
    gebrane
    $|GL_n(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})| = p^{(k-1)n^2}|GL_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})| $
    Le 😄 Farceur


  • JLT
    JLT

    👍


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