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Bijection

Modifié (18 Sep) dans Algèbre
Bonsoir
Soit $p$ un irréductible dans $\Z[i]$, alors l'anneau quotient $A=\Z[i] / p \Z[i]$ est un corps. Le but est de montrer que cet anneau quotient possède $p^2$ éléments.
Soit $\rho : \Z[i] \longrightarrow \Z[i] / p \Z[i]$ la projection canonique. Soient $a+ib$ et $a'+ib'$ des éléments de $\Z[i]$.
On a $\rho(a+ib)= \rho(a'+ib')$ si et seulement si $a \equiv a' [p]$ et $b \equiv b' [p]$. 
Le corrigé dit que $A$ est donc en bijection avec les couples $(\bar{a},\bar{b}) \in (\Z / p \Z) \times (\Z / p \Z)$.
Je ne vois pas comment montrer la bijection.

Réponses

  • OShine a dit :

    Soit $p$ un irréductible dans $\Z[i]$, alors l'anneau quotient $A=\Z[i] / p \Z[i]$ (...) possède $p^2$ éléments.
    Cet énoncé n'a pas de sens en général.

  • Modifié (18 Sep)
    Pourquoi ? 
    Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 3 [4]$. Montrer que l'anneau  $\Z[i]  / p \Z[i]$ est un corps à $p^2$ éléments.
    Le cours montrer que si $p$ est premier, $p$ est irréductible dans $\Z[i]$ si et seulement si $p \equiv 3 [4]$.
  • Relis lentement ce que tu as écrit dans ton premier message.
  • J'ai relu je ne vois toujours pas le problème.
  • Dans ton premier message : OShine a dit :
    Soit $p$ un irréductible dans $\Z[i]$...
    Dans ton deuxième message : 

    OShine a dit : 
    Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 3 [4]$.
  • Modifié (18 Sep)
    Bon, pour tout $p$ premier, $A\simeq \mathbb F_p[X]/(X^2+1)$.
    Donc $A$ est un corps ssi $-1$ n'est pas un carré modulo $p$ ssi $p=3\bmod 4$.
    Dans ce cas-là, $A=\mathbb F_{p^2}$.
    Si $p=1\bmod 4$, $A\simeq \mathbb F_p\times\mathbb F_p$ par application du théorème chinois.
    Enfin, $2$ est ramifié.
  • Modifié (18 Sep)
    @raoul.S
    Si $p$ est premier tel que $p$ est congru à $3$ modulo $4$ alors $p$ est irréductible donc je ne vois pas le problème.
    @gai requin
    Tu compliques même si j'ai vu cet isomorphisme dans un exo je ne comprends pas la dernière ligne.
    La technique de mon livre a l'air plus simple mais je ne vois pas comment démontrer que c'est bijectif.
  • Si p est congru à 3 modulo 4 , alors p est irréductible.
    Si p est irréductible, est il forcément congru à 3 modulo 4 ? 
    Non.
    Et toi, tu fais comme si la réponse était oui.

  • Tu as essayé de déclarer une fonction adaptée et ensuite de montrer sa bijectivité ?
    J'imagine que la réponse est non mais on sait jamais...
  • Soit $p$ un nombre premier tel que $p$ soit irréductible dans $\Z[i]$ (on montre que c'est équivalent au fait que $p\equiv 3\pmod{4}$ mais ce n'est pas trivial et inutile pour ce qui suit).
    Soit $f:\Z[i]\to \Z/p\Z\times \Z/p\Z$ défini par $f(a+ib)=(\overline{a},\overline{b})$. C'est un morphisme de groupes. Il est évidemment surjectif. De plus, $a+ib\in\ker f\iff (p\mid a\;\mathrm{et}\; p\mid b) \iff (\exists \alpha\in \Z[i],\; a+ib=p\alpha)\iff a+ib\in p\Z[i]$ donc $\ker f=p\Z[i]$, d'où l'isomorphisme de groupes $\Z[i]/p\Z[i]\cong \Z/p\Z\times \Z/p\Z$.

  • @lourrran en effet merci.

    @JLapin je vais essayer de trouver la bijection.
  • Modifié (18 Sep)
    En effet toute la théorie est présentée dans le livre mais c'est très long, et ici on ne se sert pas du $p \equiv 3 [4]$.

    @JLT merci parfait ! 
     J'ai essayé de trouver une bijection entre $\Z[i] / p \Z[i]$ et $\Z / p \Z \times \Z / p \Z$, je n'ai pas pensé au théorème d'isomorphisme.

    Voici ma méthode qui est légèrement différente, je n'utilise pas le même ensemble de départ. 
    Si je considère l'application $\phi : \Z[i] / p \Z[i] \rightarrow \Z / p \Z \times \Z / p \Z \\ x=\rho(a+ib) \mapsto (\bar{a},\bar{b})$.
    • Injectivité : soit $\phi( \rho(a+ib) ) = \varphi( \rho(a'+ib'))$. Alors $(\bar{a},\bar{b}) = (\bar{a'},\bar{b'})$. Donc $a \equiv a'[p]$ et $p \equiv b'[p]$ d'après l'équivalence du corrigé on a $\rho(a+ib)=\rho(a'+ib')$.
    • Surjectivité : elle est triviale.
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