Bijection
Bonsoir
Soit $p$ un irréductible dans $\Z[i]$, alors l'anneau quotient $A=\Z[i] / p \Z[i]$ est un corps. Le but est de montrer que cet anneau quotient possède $p^2$ éléments.
Soit $\rho : \Z[i] \longrightarrow \Z[i] / p \Z[i]$ la projection canonique. Soient $a+ib$ et $a'+ib'$ des éléments de $\Z[i]$.
On a $\rho(a+ib)= \rho(a'+ib')$ si et seulement si $a \equiv a' [p]$ et $b \equiv b' [p]$.
Le corrigé dit que $A$ est donc en bijection avec les couples $(\bar{a},\bar{b}) \in (\Z / p \Z) \times (\Z / p \Z)$.
Je ne vois pas comment montrer la bijection.
Soit $p$ un irréductible dans $\Z[i]$, alors l'anneau quotient $A=\Z[i] / p \Z[i]$ est un corps. Le but est de montrer que cet anneau quotient possède $p^2$ éléments.
Soit $\rho : \Z[i] \longrightarrow \Z[i] / p \Z[i]$ la projection canonique. Soient $a+ib$ et $a'+ib'$ des éléments de $\Z[i]$.
On a $\rho(a+ib)= \rho(a'+ib')$ si et seulement si $a \equiv a' [p]$ et $b \equiv b' [p]$.
Le corrigé dit que $A$ est donc en bijection avec les couples $(\bar{a},\bar{b}) \in (\Z / p \Z) \times (\Z / p \Z)$.
Je ne vois pas comment montrer la bijection.
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Réponses
Soit $p$ un nombre premier tel que $p \equiv 3 [4]$. Montrer que l'anneau $\Z[i] / p \Z[i]$ est un corps à $p^2$ éléments.
Le cours montrer que si $p$ est premier, $p$ est irréductible dans $\Z[i]$ si et seulement si $p \equiv 3 [4]$.
Donc $A$ est un corps ssi $-1$ n'est pas un carré modulo $p$ ssi $p=3\bmod 4$.
Dans ce cas-là, $A=\mathbb F_{p^2}$.
Si $p=1\bmod 4$, $A\simeq \mathbb F_p\times\mathbb F_p$ par application du théorème chinois.
Enfin, $2$ est ramifié.
Si $p$ est premier tel que $p$ est congru à $3$ modulo $4$ alors $p$ est irréductible donc je ne vois pas le problème.
@gai requin
Tu compliques même si j'ai vu cet isomorphisme dans un exo je ne comprends pas la dernière ligne.
La technique de mon livre a l'air plus simple mais je ne vois pas comment démontrer que c'est bijectif.
Si p est irréductible, est il forcément congru à 3 modulo 4 ?
Non.
Et toi, tu fais comme si la réponse était oui.
@JLapin je vais essayer de trouver la bijection.
@JLT merci parfait !
J'ai essayé de trouver une bijection entre $\Z[i] / p \Z[i]$ et $\Z / p \Z \times \Z / p \Z$, je n'ai pas pensé au théorème d'isomorphisme.
Voici ma méthode qui est légèrement différente, je n'utilise pas le même ensemble de départ.
Si je considère l'application $\phi : \Z[i] / p \Z[i] \rightarrow \Z / p \Z \times \Z / p \Z \\ x=\rho(a+ib) \mapsto (\bar{a},\bar{b})$.