Une somme d'inverses dans $\Z/p\Z$
J'ai vu passer l'exercice suivant : dans le corps $K=\Z/p\Z$, on désigne par $x^{-1}$ l'inverse d'un élément $x\neq0$ et l'on demande de calculer $S=\displaystyle\sum_{k=1}^{p-1}(-1)^k\big(\overline k\big)^{-1}$.
Existe-t-il une formule générale donnant $S$ ? Indépendamment de cela, je trouve la question assez artificielle car $(-1)^k$ n'a rien d'intrinsèque dans $K$.
Nota bene : j'ai pensé à comparer $S$ et $\overline{k_0}\,S$ pour $k_0$ bien choisi, mais cette multiplication ne respecte pas bien les signes $(-1)^k$. J'ai aussi essayé de former $S\times(-S)$ en sommant aussi de $p+1$ à $2p-1$, mais c'est assez dissuasif également.
Existe-t-il une formule générale donnant $S$ ? Indépendamment de cela, je trouve la question assez artificielle car $(-1)^k$ n'a rien d'intrinsèque dans $K$.
Nota bene : j'ai pensé à comparer $S$ et $\overline{k_0}\,S$ pour $k_0$ bien choisi, mais cette multiplication ne respecte pas bien les signes $(-1)^k$. J'ai aussi essayé de former $S\times(-S)$ en sommant aussi de $p+1$ à $2p-1$, mais c'est assez dissuasif également.
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Réponses
raoul : oui, et c'est aussi $2$ que multiplie la somme initiale dans laquelle les indices $k$ s'arrêtent à $(p-1)/2$. Le schimilimili va-t-il tomber ?
Mais je n'ai pas trouvé les valeurs obtenues pour les premières valeurs de $p$ dans l'OEIS.
Bref, un seul inverse à calculer mais bon...
J'ai quand même une petite consolation, j'avais regardé du côté du polynôme $\sum_{k=1}^{p-1}\frac{x^k}{k}$ et de sa dérivée mais sans aboutir...
Si j'avais eu l'idée de proposer $-S$ au lieu de $S$ à l'OEIS j'aurais trouvé la suite A179077 qui donne la solution !