Produit des cosinus des angles d'un triangle
Bonjour
$$\big(\frac bc+\frac cb\big)\cos(A)+ \big(\frac ac+\frac ca\big)\cos(B)+\big(\frac ab+\frac ba\big)\cos(C)\le 3,$$ que le produit des cosinus $\cos(A)\cos(B)\cos(C)\leq 1/8$.
Je partage cet exercice.
Soit un triangle aigu de cotés de longueurs $ a,b, c$ et d'angles notés $A,B , C$.
Démontrer en utilisant l'inégalité suivante sans démonstration $$\big(\frac bc+\frac cb\big)\cos(A)+ \big(\frac ac+\frac ca\big)\cos(B)+\big(\frac ab+\frac ba\big)\cos(C)\le 3,$$ que le produit des cosinus $\cos(A)\cos(B)\cos(C)\leq 1/8$.
Le 😄 Farceur
Réponses
-
Bonjour
Avez-vous essayé d'utiliser la relation
$\left(\dfrac {b}{c}+\dfrac {c}{b}\right)\times \cos\left(A\right)=\cos\left(A\right)\times \left(2\cos\left(A\right)+\dfrac {a^2}{bc}\right)$
idem avec les deux autres relations correspondantes.
Moi perso je n'ai rien fait mais c'est peut-être intéressant d'utiliser ça dans ce contexte. -
BonjourJe trouve bizarre ton exercice qui demande d'utiliser une inégalité (inconnue pour moi) et qui ne semble pas plus facile à démontrer que le résultat demandé.Personnellement je trouve plus naturel de faire l'exercice sans l'indication.On peut alors démontrer par le calcul que la majoration demandée est correcte et optimale puisqu'elle est atteinte pour le triangle équilatéral.Maintenant, il peut y avoir une interprétation géométrique à ce produit des cosinus, qui ferait que le résultat se démontre avec moins de calculs.
-
j'ai sauté la première question de l 'exercice qui demande de prouver l'inégalité. J'ai voulu savoir si la déduction est immédiate. Je crois trouver un raisonnement. L'inégalité permet d'avoir que la somme des cosinus est inférieure à 3/2 (j'ai utilisé que les cosinus sont positifs (triangle aigu) et que si on ajoute à un nombre positif son inverse on obtient un nombre plus grand que 2).Le 😄 Farceur
-
@Gebrane si on admet ton inégalité: J'exprime ton inégalité sous la forme $\dfrac{h_1+h_2+h_3}{3}\leq 1.$ La moyenne géométrique étant inférieure à la moyenne arithmétique tu obtiens $(h_1 h_2 h_3)^{1/3} \leq 1. $ Je te laisse terminer et effectivement tu vas utiliser des inégalités de la forme$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\geq 2$ pour conclure.
-
Bonjour, j'avais déjà terminé le raisonnement en disant je crois trouver un raisonnement.
Pour le moment je regarde comme un enfant émerveillé l'inégalité, d'où provient-elle ?Le 😄 Farceur -
Sinon méthode bourrinage. On a vu les hypothèses (j'utilise des minuscules au lieu des majuscules pour A,B,C)$$\cos(a)\cos(b)\cos(c)=\cos(a)\cos(b)\cos(\pi-a-b)=-\cos(a)\cos(b)\cos(a+b)$$Soit $f(x)=-\cos(x)\cos(b)\cos(x+b)$ alors $f'(x)=0\Rightarrow\sin\left(2x+b\right)=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}-\frac{b}{2}$ (pour rester avec un triangle obtus) et c'est un maximum pour $f$. Donc $$\cos(a)\cos(b)\cos(c)\leq-\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{b}{2})\cos(b)\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{b}{2}+b)=\sin^{2}\left(\frac{b}{2}\right)\cos(b)$$Soit alors $g(x)=\sin^{2}\left(\frac{x}{2}\right)\cos(x)$ on a $g'(x)=\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right)=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{3}$ (pour rester avec un triangle obtus) et c'est un maximum pour $g$.Donc finalement $$\cos(a)\cos(b)\cos(c)\leq\sin^{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos(\frac{\pi}{3})=\frac{1}{8}.$$
-
"mathématiques avancées du collège ": c'est antinomique non ?
-
Bonsoir à tousSi $O$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et si $H$ est l'orthocentre de ce triangle, cela résulte de la formule autrefois bien connue dans les siècles précédents:$$OH^2=R^2(1-8\cos A\cos B\cos C)$$Aujourd'hui on se doute un peu que c'est une toute autre histoire quand on ne sait plus qu'ânonner la définition des cosinus!Amicalementpappus
-
Bonjour @papus @Ludwig @Rescassol
@quelquun de bien
Une idée pour l'inégalité $\big(\frac bc+\frac cb\big)\cos(A)+ \big(\frac ac+\frac ca\big)\cos(B)+\big(\frac ab+\frac ba\big)\cos(C)\le 3,$
Le 😄 Farceur -
tu as essayé avec ce que j'ai posté plus haut?
-
Tu as trouvé quelques choses avec ?, j'avais raté ton message !Le 😄 Farceur
-
Soit un polygone strictement convexe à $n$ côtés sans angles droits. Je note les angles intérieurs aux sommets $A_{i}$.
Pour un triangle on a vu que $$\prod_{i=1}^{3}\cos\left(A_{i}\right)\leq\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)^{3}.$$A-t-on pour $n\geq3$ $$\prod_{i=1}^{n}\cos\left(A_{i}\right)\leq\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)^{n,},$$ ou quelque chose du genre ?Edit: la question n'a pas trop de sens comme ça... Faut que je réfléchisse. -
Bonjour,D'après les formules de projection, on a :$ \quad a = b \cos(C) + c \cos(B) $
$ \quad b = c \cos(A) + a \cos(C) $
$ \quad c = a \cos(B) + b \cos(A).$
On en tire :$ \quad 1= \dfrac{b}{a} \cos(C) + \dfrac{c}{a} \cos(B) $Amicalement$ \quad 1 = \dfrac{c}{b} \cos(A) + \dfrac{a}{b} \cos(C) $
$ \quad 1 = \dfrac{a}{c} \cos(B) + \dfrac{b}{c} \cos(A).$
Par somme, on obtient :
$\dfrac{b}{a} \cos(C) + \dfrac{c}{a} \cos(B)+\dfrac{c}{b} \cos(A) + \dfrac{a}{b} \cos(C)+\dfrac{a}{c} \cos(B) + \dfrac{b}{c} \cos(A) = 3$
soit
$\dfrac{c}{b} \cos(A)+\dfrac{b}{c} \cos(A)+\dfrac{c}{a} \cos(B)+\dfrac{a}{c} \cos(B)+\dfrac{b}{a} \cos(C) +\dfrac{a}{b} \cos(C)=3$
donc
$(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}) \cos(A)+(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c})\cos(B)+(\dfrac{b}{a} +\dfrac{a}{b}) \cos(C)=3$
-
Merci. Je dois réfléchir car avec un quadrilatère on peut approcher 1 comme on veut.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 4
+2 Invités