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Équation différentielle et isomorphisme

Modifié (17 Sep) dans Analyse
Bonjour.
Je bloque à la question $b$.
a) $q''+w^2 y=0$. L'équation caractéristique est $x^2+w^2=0$. Les solutions sont $\pm iw$.
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions $\boxed{x \mapsto \lambda \cos (wx) + \mu \sin (wx)}$ avec $\lambda, \mu \in \R$.
Or $y(0)=\lambda$ et $y(1)= \lambda \cos (w) + \mu \sin (w)$.
On veut que l'application $y \in E_{w^2} \mapsto ( \lambda ,  \lambda \cos w + \mu \sin w)$ soit un isomorphisme.
$f$ est linéaire entre deux espaces vectoriels, et $\dim E_{w^2} = \dim \R^2=2$ donc l'injectivité est équivalente à la bijectivité.
Si $f$ est injective alors $\lambda=0$ et $ \lambda \cos (w) + \mu \sin (w)=0$ soit $\mu \sin w =0$.
La condition est $\boxed{w= k \pi}$ avec $k \in \Z$.

Réponses

  • La dérivée  de f en t_0 est nulle, pourquoi ?
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation :  Je suis Jack 
  • Modifié (17 Sep)
    $f$ admet un extremum local en $t_0$, en l'occurrence un maximum, donc $f'(t_0)=0$. 
    Pour la dérivée seconde, ça me semble plus difficile.
  • Fonction convexe concave programme de MPSI
  • Modifié (17 Sep)
    Pas besoin de convexité pour dire que $f''(t_0)\leq 0$ si $f$ admet un maximum en $t_0\in ]0,1[$.
    Il suffit de passer à la limite en $t_0$ dans l'inégalité $\frac{f(t)-f(t_0)}{(t-t_0)^2}\leq 0$.
  • La question a) est fausse.  A revoir .  Si $\omega=\pi $    avec $u=(0,1 )$  il n'y a pas d'antécédent.    
  • Ou alors faire un développement limité en t0...
  • bd2017 a dit :
    La question a) est fausse.  A revoir .  Si $\omega=\pi $    avec $u=(0,1 )$  il n'y a pas d'antécédent.    
    Pas compris comment tu vois qu'il n'y a pas d'antécédent.
  • Modifié (17 Sep)
    Tu la joues fort!  Mais rien ne m'étonne avec toi. Prend ton courage à 2 mains et résous l'équation différentielle avec la condition que j'ai donnée. Si tu trouves une solution, tu me feras signe.
  • Modifié (17 Sep)
    $f$ est de classe $C^2$ sur $[0,1]$, on peut faire un DL.

    On a $f(t)= f(t_0) + f'(t_0) (t-t_0) + \dfrac{ f''(t_0) }{2}  (t-t_0) + o( t-t_0)$

    Or $f'(t_0)=0$ donc $f(t) -f(t_0) =  \dfrac{ f''(t_0) }{2}  (t-t_0) + o( t-t_0)$

    Donc $2 (f(t)- f(t_0)  \sim f''(t_0) (t-t_0)$

    Or $f(t) -f(t_0) \leq 0$ cat $f(t_0)$ est le maximum.

    Donc $f''(t_0) \geq 0$ si $t=t_0 ^{-}$ et $f''(t_0)  \leq 0$ si $t=t_0 ^{+}$.

    @JLapin pas compris d'où sort ton inégalité.
  • bd2017 a dit :
    Tu la joues fort!  Mais rien ne m'étonne avec toi. Prend ton courage à 2 mains et résous l'équation différentielle avec la condition que j'ai donnée. Si tu trouves une solution, tu me feras signe.
    J'ai déjà résolu l'équation différentielle, je ne comprends pas ce que je dois faire. 
    Je ne sais pas comment faire pour voir s'il y a un antécédent ou pas.
  • Alors continue à faire les questions plus difficile alors que que tu montres que tu n'as pas compris  la première question. 
  • Modifié (17 Sep)
    Pour la 2, qui est une question classique, j'ai un doute avec le signe de $t-t_0$ qui me perturbe car le signe change.

    $\mu=1 / \sin (w)$

    $y= 1/ \sin (w) \sin x$

    Donc $y'' +\pi ^2 1/ \sin (w) \sin x = - \dfrac{1}{\sin^2(w) } \sin x + \pi ^2 \sin x \dfrac{1}{\sin w} \ne 0$ donc mon calcul de 1) est faux. 

    Je ne trouve pas où est mon erreur dans la première question.
  • La question b) est de niveau lycée. C'est donc normal que tu bloques dessus, tu bloques systématiquement sur les questions de niveau lycée.
  • Il y a une erreur très dans ton DL.
    Par ailleurs, tu sembles ignorer que $\frac{a}{b}\leq 0$ lorsque $b>0$ et $a\leq 0$. C'est un peu handicapant pour aborder ce genre d'exo ou pour enseigner les maths en général.

  • Modifié (17 Sep)
    Pour la a), en notant $F : y \longmapsto (y(0), y(1))$, il est clair que $F$ est linéaire. Soit $y \in E_q$ tel que $F(y) = (0, 0)$, alors $0 = \lambda$ et $0 = \lambda \cos(\omega) + \mu \sin(\omega)$. Donc $\ker(F) = \{0\} \Longleftrightarrow \omega \notin \pi \mathbb{Z}$.
    Pour la b), on a $\forall t \in [0, 1],\ f(t) \leqslant f(t_0)$ donc $f'(t_0) = 0$ ($f$ atteint un maximum en $t_0$). Donc pour tout $t \in [0, 1]$, $\ f(t) = f(t_0) + \frac{1}{2}(t-t_0)^2 f''(t_0) + o((t-t_0)^2)$. Mais $f(t) - f(t_0) \leq 0$ donc $\frac{1}{2}(t-t_0)^2 f''(t_0) + o((t-t_0)^2) \leq 0$ ce qui donne :
    $$f''(t_0) + o(1) \underset{t \to t_0}{\leqslant} 0.$$ D'où $f''(t_0) \leq 0$.
    Pour la c), c'est nettement plus difficile.
  • Modifié (17 Sep)
    En effet, il y avait une faute dans mon DL c'est pour ça que je ne trouvais pas la bonne réponse. 

    @Bibix
    Parfait ! Merci. Dans la a) j'avais oublier qu'on voulait un noyau nul ! Ma dernière ligne était du n'importe quoi.

    Je préfère les équivalents.
    On peut aussi dire que $f(t) -f(t_0) \sim \dfrac{1}{2} (t-t_0)^2 f''(t_0) $ et comme $f(t)-f(t_0) \leq 0$ alors $f''(t_0) \leq 0$ au voisinage de $t_0$ mais $f''(t_0)$ est une constante donc $f''(t_0) \leq 0$.

    La c) a l'air costaud oui. 
  • Tâchons de retenir une chose au moins de cet exercice : $\omega$ est la lettre grecque oméga, pas la lettre latine w.
  • Modifié (17 Sep)
    @Math Coss ok, la question 2 est un grand classique à connaître, je l'ai déjà vu quelque part.

    Pour la $c$ il faut d'abord résoudre l'équation différentielle mais sans connaître $q$ ? Ca m'a l'air infaisable.
  • Modifié (17 Sep)
    Pour la c), ne pense surtout pas à résoudre l'équation différentielle (c'est impossible) ! Il faut utiliser les outils appropriés (Cauchy linéaire, wronskien, etc...) et la question b).

    OShine a dit :
    Je préfère les équivalents.
    On peut aussi dire que $f(t) -f(t_0) \sim \dfrac{1}{2} (t-t_0)^2 f''(t_0) $ [...]
    N'importe quoi ! Si $f''(t_0) = 0$, on obtient un équivalent délirant (et faux).
  • Ok merci je vais relire le cours.
  • Modifié (17 Sep)
    Pour la  c)  c'est facile mais quand on se plante dès la première question c'est assez normal de dire que c'est infaisable.
    Soit  $y$  une solution dans qui vérifie $y''+q y= 0$  et $y(0)=y(1)=0.$
    Alors on a  :  $$ \int_0^1 ( y'(x)^2 - q(x)  y(x)^2 ) dx =0. $$ Mais avec l'hypothèse sur $q$  cela implique que $y=0.$  Le noyau de l'application de la question a) est réduit au vecteur nul. La fonction $q$ possède la propriété P.
  • Modifié (17 Sep)
    Solution à la c) : $y$ est continue sur $[0, 1]$ donc atteint ses bornes. On note $y(t_0)$ un maximum de $y$ sur $[0, 1]$. Si $t_0 \in ]0, 1[$, on a $y''(t_0) = -q(t_0) y(t_0) \leqslant 0$ (d'après b)). Donc $y(t_0) \leq 0$ et donc :
    $$\forall t \in [0, 1], \quad y(t) \leq 0$$

    Si $t_0 \in \{0, 1\}$, on a $y(t) \leq \max(y(0), y(1))$
    D'où : 
    $$\forall t \in [0, 1], \quad y''(t) = -q(t) y(t) \leq -q(t) \max(y(0), y(1), 0)$$

    Ainsi, si $y(0) = y(1) = 0$, alors $y \leqslant 0$ et $y'' \leqslant 0$, donc $y'$ est décroissante donc $y = 0$.
    Voilà, en fait c'est bon, il fallait juste réfléchir, pas besoin de l'artillerie.
  • Modifié (17 Sep)
    @Bibix Je n'avais pas lu la question 2). Mais  je trouve que si la question 2)  ne sert qu'à faire la question 3) l'artillerie est plutôt de ce côté. En effet démontrer que la fonction q est dans P se fait bien plus simplement et directement  comme je l'ai fait, c'est à dire  en  multipliant par $y$ l'équation et en faisant une I.P.P  (l'idée étant que les termes de bord disparaissent). On a donc l'intégrale d'une fonction de signe constant qui est nulle. La fonction est donc nulle. 
    De plus comment feriez vous la question si on changeait les conditions  par $y'(0)=y'(1)=0\ ?$
  • Modifié (17 Sep)
    Oui c'est toujours mieux de le voir sous formulation variationnelle. Mais je ne suis pas sûr que cette solution soit plus simple. Celle qui est suggérée par l'exo et que j'ai rédigée est compréhensible sans savoir ce qu'est une intégrale (et une I.P.P.), et je la trouve moins catapultée. En plus, on trouve une borne pour $y''$ et $y$ . Ce n'est pas rien !
    Cette technique marche aussi pour $y(0) = y(\frac{1}{2}) = 0$. Bref, je pense que les deux ont leurs avantages et inconvénients.
  • Modifié (17 Sep)
    Effectivement je n'avais pas regardé la question 2.. Tu veux sûrement dire que l'apport de la question  2) est  qu'une solution quelconque est soit concave, soit convexe. 
  • Modifié (18 Sep)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Pas compris le passage à l'intégrale ni d'où sortent les carrés.
  • Modifié (17 Sep)
    Intègre par parties $\int_0^1 y'(x)^2 dx$.
    Pour savoir que cette intégrale va donner quelque chose d'intéressant, il faut avoir une assez bonne culture de ce type de problème.

    Note qu'il te faudra ensuite utiliser une astuce de génie rarement expliquée et mise en valeur par les corrigés de médiocre qualité : 
    si $a-b=0$, alors $a=b$.
  • Modifié (18 Sep)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Parfait merci.
  • Modifié (18 Sep)
    @bd2017
    Tu dis $y=0$ mais je ne vois aucune démonstration de ce résultat. Je le démontre donc. 
    $y'(x)^2-q(x)y(x)^2=0$. Si $y(x) \ne 0$ alors $(\dfrac{ y'(x)}{y(x)})^2=q(x)$ ce qui est absurde car $q(x) <0$ donc $y(x)=0$. 
    On pose $u(x)=y'(x)$ et $v'(x)=y'(x)$ on a $u'(x)=y''(x)$ et $v(x)=y(x)$
    $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ sur $[0,1]$. 
    Donc $\displaystyle\int_{0}^1 y'(x)^2 dx =y(1)y'(1)-y(0)y'(0) + \int_{0}^1  y(x) y''(x) dx =   \int_{0}^1 (-q y(x)^2) dx $.
  • @bd2017 Avec la question 2., je peux faire un dessin réaliste d'une solution particulière de cette équation. Je peux aussi avoir un principe du maximum dans le sens où j'ai $\min(y(1), y(0), 0) \leqslant y \leqslant \max(0, y(1), y(0))$. En fait, on a accès au comportement de la solution, donc on peut expliquer intuitivement pourquoi ça marche. Avec la formulation variationnelle, c'est beaucoup plus abstrait (car c'est un outil pour les EDPs à la base, donc plus général).
  • Modifié (18 Sep)
    @bibix,  oui, je suis d'accord.
    Quant à @Os je suis interrogatif quant tu dis que je n'ai pas démontré  $ y'(x)^2- q(x) y(x)^2 =0$ implique directement  $y(x)=0.$ Mais c'est évident  (puisque  $-q(x)>0 )  $).
  • Encore un bel exercice d'agreg spécial docteur, qui est accessible avec de la réflexion, contrairement aux oraux de Mines Centrale X ENS qui demandent souvent des idées de génie introuvables.
  • Modifié (18 Sep)
    Tu as cliqué sur 'Publier' avant de finir ta phrase :  "introuvables par moi".
  • Modifié (18 Sep)
    OShine a dit :
    Encore un bel exercice d'agreg spécial docteur, qui est accessible avec de la réflexion, contrairement aux oraux de Mines Centrale X ENS qui demandent souvent des idées de génie introuvables.
    Tu peux éviter ces commentaires complètement idiots ?
    C'est quand même plus facile que de ne pas faire d'erreur grossière de logique dans chaque question prétendument traitée...
  • Modifié (18 Sep)
    OShine a dit :
    @bd2017
    Tu dis $y=0$ mais je ne vois aucune démonstration de ce résultat. Je le démontre donc. 
    $y'(x)^2-q(x)y(x)^2=0$.
    Tu penses sérieusement que seule la fonction nulle est d'intégrale nulle ?
  • Non ça marche que pour les fonctions continues et positives dont l'intégrale est nulle. 

    @bd2017 a été un peu vite pour montrer que $y=0$.
  • Non, dis plutôt que tu n'as pas envie de faire d'efforts pour utiliser son message afin de montrer comme un grand que $y=0$, ce sera plus honnête.
  • Modifié (18 Sep)
    @OShine : Oui, les exercices préliminaires de l'agrégation spéciale docteur ne sont pas trop difficiles en général, mais cela demande de très bien maîtriser le cours et d'avoir des réflexes. Or, le peu que j'ai vu dans ce sujet ou les deux où je suis intervenu suggère que tu en manques beaucoup et que tu as tendance à bloquer sur des points où, pour te débloquer, il est difficile de ne pas faire autrement que de te donner la solution (je pense à la question 3 de l'exercice sur les séries entières par exemple). Il faut donc que tu acceptes de bloquer un peu plus et que tu revois aussi les bases pour que ce genre d'exercices te soit réellement accessibles, et pas seulement quand tu les as finis après avoir bénéficié de nombreuses aides. Courage !
    Voici une question supplémentaire : dans la question 2, on te dit que $t_0 \in ]0 ; 1[$. Et si $t_0 = 0$ ou $t_0 = 1$, est-ce qu'on aurait pu conclure de la même manière ?
  • Oui je n'ai pas encore le niveau pour les réussir seul pour l'instant, j'arrive à faire juste quelques questions.

    $\forall x \in [0,1] \ y'(x)^2-q(x) y(x)^2 \geq 0$ et l'application $x \mapsto  y'(x)^2-q(x) y(x)^2$ est continue sur $[0,1]$ car $y$ est de classe $C^2$ donc $y'$ de classe $C^1$. 
    Donc $\displaystyle\int_{0}^1 (y'(x)^2-q(x) y(x)^2) dx =0 \implies \forall x \in [0,1] \  y'(x)^2-q(x) y(x)^2=0 \implies \forall x \in [0,1] \ q(x)=0$

    @Barry
    Ca ne marche pas pour les extrémités, le cours dit qu'on doit prendre un ouvert. La démonstration utilise les voisinages à gauche et à droite, on ne peut pas prendre les extrémités.
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