Développement limité
Bonjour,
(1+x)^{\tfrac{ \ln x}{x}}-x&\,=e^{\tfrac{\ln x}{x} \ln(1+x)}-x
\\
&\,\sim e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3})}-x
\end{align}
Comment je montre que $$(1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x\,\sim\,−\frac{1}{2}x^2\ln(x) ,$$ au voisinage de zéro ?
J'écris
\begin{align}(1+x)^{\tfrac{ \ln x}{x}}-x&\,=e^{\tfrac{\ln x}{x} \ln(1+x)}-x
\\
&\,\sim e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3})}-x
\end{align}
et j'utilise $e^{a+b}=e^a.e^b$ mais je ne tombe pas sur la réponse voulue. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance !
Merci d'avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$ (1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x= e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3}+ o(x^2)})-x$
Mais je ne vois pas comment ça pourrait m'aider...
Edit: $ (1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x= e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+o(x)})-x\sim x e^{\ln (x)(-\tfrac{x}{2})}$ et je fais le développement limité de $e^{\ln (x)(-\tfrac{x}{2})}$.
Merci !
Tu factorise $x$ pour obtenir une telle forme .
$u=\frac{\ln x}x[\ln(1+x)-x]$. Le crochet étant un $O(x^2)$, $u$ tend vers 0 en 0. Du coup ta fonction
$$\sim x\: u(x)=\ln x[\ln(1+x)-x]\sim\ln x[-\frac12 x^2]$$
\[\begin{align}(1+x)^{\frac{\ln(x)}{x}}-x &= x\times \left(\exp\left(\ln(x)\left(\frac{\ln(1+x)}{x}-1\right)\right)-1\right) \\ &\sim x\times \ln(x)\left(\frac{\ln(1+x)}{x}-1\right) \\ &= \ln(x)\times \left(\ln(1+x)-x\right) \\ &\sim \ln(x) \times\left(-\frac{x^2}{2}\right)\end{align}\]