Racine n-ièmes de l'unité

Xavier Var
Xavier Var
Modifié (September 2022) dans Algèbre
Bonjour.
Il s'agit de cet énoncé (exercice de L1).

La lettre "U" désigne l'ensemble des racines de l'unité. La réciproque est facile à démontrer. L'indication de l'énoncé est d'utiliser $e^{\frac{2i\pi }{p}}$ et $e^{\frac{2i\pi }{q}}$ sans les outils de deuxième année (comme le théorème de Lagrange par exemple).
Une aide ?

Réponses

  • Vincent
    Vincent
    Modifié (September 2022)
    Peux-tu exprimer le fait d'appartenir à $\mathbb{U}_q$ à l'aide de $\exp(2i\pi/q)$ ?
    Si $\mathbb{U}_p \subset \mathbb{U}_q$, en particulier quel élément est dans $\mathbb{U}_q$ ?
  • Xavier Var
    Xavier Var
    Si $x$ est dans $\mathbb{U}_{q}$ alors $\left ( e^{\frac{2i\pi }{q}} \right )^{q}=e^{2i\pi }=1$
    Pour la deuxième question je pense à 1 parce qu'il est dans toute les racines n-ièmes de l'unité.
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (September 2022)
    Si $U_p\subset U_q $, tu as $e^{\tfrac {2i\pi (p-1)}{p}}\in U_q $, c'est-à-dire  $e^{\tfrac {2i\pi (p-1)}{p}}=e^{\tfrac {2i\pi (k)}{q} }$, avec $k\in \{0,1,\ldots,q-1\} $.
    Tu termines ...

    edit coquille corrigée
    Le 😄 Farceur


  • Xavier Var
    Xavier Var
    Bonjour @gebrane et merci pour l'indication.
    J'aimerais comprendre pourquoi k - 1 et pas k ?
  • gebrane
    gebrane
    C'était un mauvais copier coller 
    Le 😄 Farceur


  • Xavier Var
    Xavier Var
    Ah d'accord.
    Suis-je bien parti ? 

  • gebrane
    gebrane
    Il y a un i qui traine 

    $e^{2i\pi [\tfrac {(p-1)}{p}-\tfrac {k}{q} ]   }=1 \iff  \tfrac {(p-1)}{p}-\tfrac {k}{q} \in \Z$
    Le 😄 Farceur


  • Xavier Var
    Xavier Var
    Oui en effet zut ! 
    J'ai avancé un peu.

  • gebrane
    gebrane
    Il dit J'ai avancé un peu., non tu as terminé  :expressionless:  
    Le 😄 Farceur


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