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Racine n-ièmes de l'unité

Modifié (18 Sep) dans Algèbre
Bonjour.
Il s'agit de cet énoncé (exercice de L1).

La lettre "U" désigne l'ensemble des racines de l'unité. La réciproque est facile à démontrer. L'indication de l'énoncé est d'utiliser $e^{\frac{2i\pi }{p}}$ et $e^{\frac{2i\pi }{q}}$ sans les outils de deuxième année (comme le théorème de Lagrange par exemple).
Une aide ?

Réponses

  • Modifié (18 Sep)
    Peux-tu exprimer le fait d'appartenir à $\mathbb{U}_q$ à l'aide de $\exp(2i\pi/q)$ ?
    Si $\mathbb{U}_p \subset \mathbb{U}_q$, en particulier quel élément est dans $\mathbb{U}_q$ ?
  • Si $x$ est dans $\mathbb{U}_{q}$ alors $\left ( e^{\frac{2i\pi }{q}} \right )^{q}=e^{2i\pi }=1$
    Pour la deuxième question je pense à 1 parce qu'il est dans toute les racines n-ièmes de l'unité.
  • Modifié (18 Sep)
    Si $U_p\subset U_q $, tu as $e^{\tfrac {2i\pi (p-1)}{p}}\in U_q $, c'est-à-dire  $e^{\tfrac {2i\pi (p-1)}{p}}=e^{\tfrac {2i\pi (k)}{q} }$, avec $k\in \{0,1,\ldots,q-1\} $.
    Tu termines ...

    edit coquille corrigée
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Bonjour @gebrane et merci pour l'indication.
    J'aimerais comprendre pourquoi k - 1 et pas k ?
  • C'était un mauvais copier coller 
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Ah d'accord.
    Suis-je bien parti ? 

  • Il y a un i qui traine 

    $e^{2i\pi [\tfrac {(p-1)}{p}-\tfrac {k}{q} ]   }=1 \iff  \tfrac {(p-1)}{p}-\tfrac {k}{q} \in \Z$
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    Citation :  Je suis Jack 
  • Oui en effet zut ! 
    J'ai avancé un peu.

  • Il dit J'ai avancé un peu., non tu as terminé  :expressionless:  
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    Citation :  Je suis Jack 
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