Racine n-ièmes de l'unité
Bonjour.
Il s'agit de cet énoncé (exercice de L1).
La lettre "U" désigne l'ensemble des racines de l'unité. La réciproque est facile à démontrer. L'indication de l'énoncé est d'utiliser $e^{\frac{2i\pi }{p}}$ et $e^{\frac{2i\pi }{q}}$ sans les outils de deuxième année (comme le théorème de Lagrange par exemple).
Une aide ?
Il s'agit de cet énoncé (exercice de L1).
La lettre "U" désigne l'ensemble des racines de l'unité. La réciproque est facile à démontrer. L'indication de l'énoncé est d'utiliser $e^{\frac{2i\pi }{p}}$ et $e^{\frac{2i\pi }{q}}$ sans les outils de deuxième année (comme le théorème de Lagrange par exemple).
Une aide ?
Réponses
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Peux-tu exprimer le fait d'appartenir à $\mathbb{U}_q$ à l'aide de $\exp(2i\pi/q)$ ?Si $\mathbb{U}_p \subset \mathbb{U}_q$, en particulier quel élément est dans $\mathbb{U}_q$ ?
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Si $x$ est dans $\mathbb{U}_{q}$ alors $\left ( e^{\frac{2i\pi }{q}} \right )^{q}=e^{2i\pi }=1$
Pour la deuxième question je pense à 1 parce qu'il est dans toute les racines n-ièmes de l'unité. -
Si $U_p\subset U_q $, tu as $e^{\tfrac {2i\pi (p-1)}{p}}\in U_q $, c'est-à-dire $e^{\tfrac {2i\pi (p-1)}{p}}=e^{\tfrac {2i\pi (k)}{q} }$, avec $k\in \{0,1,\ldots,q-1\} $.
Tu termines ...
edit coquille corrigéeLe 😄 Farceur -
Bonjour @gebrane et merci pour l'indication.
J'aimerais comprendre pourquoi k - 1 et pas k ? -
C'était un mauvais copier collerLe 😄 Farceur
-
Ah d'accord.
Suis-je bien parti ?
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Il y a un i qui traine
$e^{2i\pi [\tfrac {(p-1)}{p}-\tfrac {k}{q} ] }=1 \iff \tfrac {(p-1)}{p}-\tfrac {k}{q} \in \Z$
Le 😄 Farceur -
Oui en effet zut !
J'ai avancé un peu.
-
Il dit J'ai avancé un peu., non tu as terminéLe 😄 Farceur
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Bonjour!
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