Développement limité
Bonjour,
(1+x)^{\tfrac{ \ln x}{x}}-x&\,=e^{\tfrac{\ln x}{x} \ln(1+x)}-x
\\
&\,\sim e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3})}-x
\end{align}
Comment je montre que $$(1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x\,\sim\,−\frac{1}{2}x^2\ln(x) ,$$ au voisinage de zéro ?
J'écris
\begin{align}(1+x)^{\tfrac{ \ln x}{x}}-x&\,=e^{\tfrac{\ln x}{x} \ln(1+x)}-x
\\
&\,\sim e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3})}-x
\end{align}
et j'utilise $e^{a+b}=e^a.e^b$ mais je ne tombe pas sur la réponse voulue. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance !
Merci d'avance !
Réponses
-
De tête, je tombe sur la réponse voulue. Fais le développement limité jusqu'au bout au lieu d'essayer avec les équivalents.
-
Si je fais le développement jusqu'au bout j'ajoute un petit o, non ?
$ (1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x= e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+\tfrac{x^2}{3}+ o(x^2)})-x$
Mais je ne vois pas comment ça pourrait m'aider...
Edit: $ (1+x)^{\tfrac{\ln x}{x}}-x= e^{\ln (x).(1-\tfrac{x}{2}+o(x)})-x\sim x e^{\ln (x)(-\tfrac{x}{2})}$ et je fais le développement limité de $e^{\ln (x)(-\tfrac{x}{2})}$.
Merci ! -
Avec uniquement les équivalents ca marche il me semble (en supposant connue la limite en 0 de (ln(1+x)-x)/x²)Le 😄 Farceur
-
Utiliser un équivalent puis un DL me semble bien périlleux !
-
Si tu veux absolument des équivalents il faut le faire via $e^u-1$ avec $u$ tendant vers 0.
Tu factorise $x$ pour obtenir une telle forme .
$u=\frac{\ln x}x[\ln(1+x)-x]$. Le crochet étant un $O(x^2)$, $u$ tend vers 0 en 0. Du coup ta fonction
$$\sim x\: u(x)=\ln x[\ln(1+x)-x]\sim\ln x[-\frac12 x^2]$$ -
C'est quand même bien plus simple en ayant remarqué que $(1+x)^{\frac{\ln(x)}{x}}=x^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$.
\[\begin{align}(1+x)^{\frac{\ln(x)}{x}}-x &= x\times \left(\exp\left(\ln(x)\left(\frac{\ln(1+x)}{x}-1\right)\right)-1\right) \\ &\sim x\times \ln(x)\left(\frac{\ln(1+x)}{x}-1\right) \\ &= \ln(x)\times \left(\ln(1+x)-x\right) \\ &\sim \ln(x) \times\left(-\frac{x^2}{2}\right)\end{align}\]
-
Merci !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 64 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres