Par exemple, imagine que tu cherches à savoir si une solution maximale $u$ au problème (pour $f \in C^0(\mathbb{R} \times \mathbb{R}_+, \mathbb{R})$),
$$\begin{cases} & y'(t) =f(y(t),t) \\ & y(0) = y_0 \end{cases}$$ est en fait globale (définie sur tout l'intervalle $I$). Une méthode classique est de trouver une fonction $\omega$ telle que $\omega'(t) > f(\omega(t),t)$ presque partout. Ensuite, un théorème de la barrière (parmi d'autres) donne que $\forall t \in I, \omega(t) > u(t)$ ce qui permet de dire que $u$ est définie sur $I$. Mais j'ai vraiment l'impression que le cas discret complique énormément les choses, notamment car la continuité est importante... . Je pense que c'est à écarter, mais comme il n'y a pas d'autres pistes, peut-être qu'on peut creuser dans le doute.
Merci Bibix. Sinon je viens de résoudre (sauf erreur) un cas particulier "trivial" en continuant sur l'idée de généraliser avec des coefficients cette fois pas forcément tous positifs.
Soit $\left(u_{1},u_{2}\right)=(1,1)$ et $$u_{n}=\frac{2u_{n-1}-u_{n-2}+n}{\gcd\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)}$$ alors on peut vérifier que pour $n\geq8$ on a $u_{n}=P(n)$, avec
$$P(n)=\frac{1}{6}n^{3}-\frac{1}{2}n^{2}+\frac{290}{3}n-755$$ et donc $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}$ converge bien vers $1$ la plus grande racine réelle de $x^{2}-2x+1$. À noter que $\left(P(n-1),P(n-2)\right)=1$ sauf pour $n=9k+5$ pour lequel $\left(P(9k+4),P(9k+3)\right)=3\Rightarrow\left(P(9k+4),P(9k+3),9k+5\right)=1$ Donc pour tout $n$ on a $\left(P(n-1),P(n-2),n\right)=1$.
En général si $\left(u_{1},u_{2}\right)\in\left(\mathbb{N^{\star}}\right)^{2}$ alors il semble que
Au dénominateur, on a pgcd des 3 termes. Si on prend simplement $pgcd(u_{n-1},u_{n-2})$ , ou bien $pgcd(u_{n-1},n)$, est-ce que ça change les résultats. Si par miracle, les résultats restent les mêmes, on a un peu simplifié le problème.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
J'ai lu et je comprends surtout la partie heuristique à la fin. Je suis en train d'essayer de comprendre son premier message. Je pense que noix de totos s'il passe par là pourrait nous éclairer.
Sacrée Jane, comment faire pour que je lui redonne ces 50 pts
Réponses
À noter que $\left(P(n-1),P(n-2)\right)=1$ sauf pour $n=9k+5$ pour lequel $\left(P(9k+4),P(9k+3)\right)=3\Rightarrow\left(P(9k+4),P(9k+3),9k+5\right)=1$
Donc pour tout $n$ on a $\left(P(n-1),P(n-2),n\right)=1$.
$$u_{n}=\frac{2u_{n-1}-u_{n-2}+n}{\gcd\left(u_{n-1},u_{n-2},n\right)}$$
peut s'exprimer pour $n\geq n_{0}$ sous la forme $u_{n}=\frac{n^{2}}{6}\left(n-3\right)+\alpha n+\beta$.
Si par miracle, les résultats restent les mêmes, on a un peu simplifié le problème.
Pauvre Jane a perdue 50pts de réputation
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