Signatures de permutation (encore elles ...)
Le souhait de proposer une preuve courte et intuitive de l'existence d'un morphisme non trivial du groupe des permutations d'un ensemble fini dans $\{-1,1\}$ a déjà été plusieurs fois abordé sur ce forum. Je n'ai pas les discussions sous la main mais on peut les retrouver.
L'examen du produit $\prod_{1\leq p < q \leq n} \frac{\sigma (q) - \sigma (p)}{q-p}$ où $n\in \N$ et $\sigma: \{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$ n'est pas du goût de tout le monde d'après ce que j'ai vu (c'est pourtant le moyen le plus rapide de procéder probablement).
L'idée ici est d'exploiter le fait que pour tout $n$, le groupe $\mathfrak S_n$ des bijections de $\{1,...,n\}$ est engendré par les transpositions de termes successifs.
On suppose $n\geq 2$ et pour tout $k\leq n-1$ on pose $t_k(x):=x$ si $x\in \{1,...,n\}\backslash \{k,k+1\}$, $t_k(k):=k+1$ et $t_k(k+1):=k$.
Pour tout $\theta \in \mathfrak S_n$, on pose $E(\theta):= \left \{(x,y)\in \{1,...,n\}^2 \mid x<y \text{ et } \theta (x) > \theta (y) \right \}$.
1°) Soit $\sigma \in \mathfrak S_n$, $k\in \{1,...,n-1\}$ et $a,b\in \{1,...,n\}$ tels que $\sigma (a)= k$ et $\sigma (b) = k+1$.
1.i) montrer que pour tous $x,y$ tels que $\{x,y\} \neq \{a,b\}$, on a $(x,y)\in E(\sigma)$ si et seulement si $(x,y)\in E(t_k \circ \sigma)$
1.ii) en déduire que $|card(E(\sigma)) - card (E(t_k \circ \sigma))| = 1$.
2°) Montrer que pour tous $d\in \N$ et $p \in \{1,...,n-1\}^d$, $card \left (E(t_{p_d} \circ t_{p_{d-1}} \circ ... \circ t_{p_1}) \right ) = d \mod 2$ puis conclure.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Réponses
Je connais quelqu'un qui a été barré à l'oral de l'agrég pour cela, dans les années soixante-dix
dans le fil de messages cité par Thierry Poma ici, il y a 5 ans, CC avait donné un argument trés astucieux pour montrer que l'dentité est toujours le produit d'un nombre pair de transpositions (et par conséquent, fournissant une définition parfaitement intrinsèque de la signature, sans faire appel à une construction auxiliaire d'un polynôme, ni à une quelconque relation d'ordre). Il l'avait attribué à l'intervenant gb. Quelqu'un sait-il si celui-ci l'avait inventé ou si c'est un fait connu dans la littérature mathématique ?