Une limite (géométrie du plan)
Bonjour
Je donne la solution mais ce qui peut intéresser c'est de savoir comment la trouver.
Je donne la solution mais ce qui peut intéresser c'est de savoir comment la trouver.
Soit $ABC$ un triangle non plat
$A^{\prime }$ le milieu du segment $\left[BC\right]$
$B^{\prime }$ le milieu du segment $\left[CA\right]$
$C^{\prime }$ le milieu du segment $\left[AB\right]$
$G$ le centre de gravité du triangle $ABC$
$A^{\prime }$ le milieu du segment $\left[BC\right]$
$B^{\prime }$ le milieu du segment $\left[CA\right]$
$C^{\prime }$ le milieu du segment $\left[AB\right]$
$G$ le centre de gravité du triangle $ABC$
Pour un point $P$ fixé sur le cercle de centre $G$ et de rayon l'unité
on va considérer l'application $f$ qui à tout nombre réel strictement positif $x>0$ fait correspondre le point
$P_x=f\left(x\right)=G+x.\vec {GP}$
Déterminer la limite
$t=\underset {x\rightarrow 0^+}{\text {lim}} \dfrac {3.GP_x-AP_x-BP_x-CP_x+2.A^{\prime }P_x+2.B^{\prime }P_x+2.C^{\prime }P_x}{GP_x}$
on va considérer l'application $f$ qui à tout nombre réel strictement positif $x>0$ fait correspondre le point
$P_x=f\left(x\right)=G+x.\vec {GP}$
Déterminer la limite
$t=\underset {x\rightarrow 0^+}{\text {lim}} \dfrac {3.GP_x-AP_x-BP_x-CP_x+2.A^{\prime }P_x+2.B^{\prime }P_x+2.C^{\prime }P_x}{GP_x}$
Solution.
On va noter par $\left(i:j:k\right)$ les coordonnées barycentriques normalisées par rapport à $\left(ABC\right)$ du point $C+\vec {GP}$
Je précise donc $i+j+k=1$ car ces coordonnées sont normalisées
On va noter par $\left(i:j:k\right)$ les coordonnées barycentriques normalisées par rapport à $\left(ABC\right)$ du point $C+\vec {GP}$
Je précise donc $i+j+k=1$ car ces coordonnées sont normalisées
On va poser:
$a=BC,b=CA,c=AB$
$u=\sqrt {2b^2+2c^2-a^2},v=\sqrt {2c^2+2a^2-b^2},w=\sqrt {2a^2+2b^2-c^2}$
$p=\dfrac {b^2.\left(j+3k-3\right)+c^2.\left(3j+k-1\right)-a^2.\left(j+k-1\right)}{u}$
$q=\dfrac {c^2.\left(k-1+3i\right)+a^2.\left(3k-3+i\right)-b^2.\left(k-1+i\right)}{v}$
$r=\dfrac {a^2.\left(i+3j\right)+b^2.\left(3i+j\right)-c^2.\left(i+j\right)}{w}$
Alors $t=3-\dfrac {3\left(p+q+r\right)}{2}$
$a=BC,b=CA,c=AB$
$u=\sqrt {2b^2+2c^2-a^2},v=\sqrt {2c^2+2a^2-b^2},w=\sqrt {2a^2+2b^2-c^2}$
$p=\dfrac {b^2.\left(j+3k-3\right)+c^2.\left(3j+k-1\right)-a^2.\left(j+k-1\right)}{u}$
$q=\dfrac {c^2.\left(k-1+3i\right)+a^2.\left(3k-3+i\right)-b^2.\left(k-1+i\right)}{v}$
$r=\dfrac {a^2.\left(i+3j\right)+b^2.\left(3i+j\right)-c^2.\left(i+j\right)}{w}$
Alors $t=3-\dfrac {3\left(p+q+r\right)}{2}$
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Réponses
1.évidemment il s'agissait de coordonnées barycentriques normalisées par rapport à $\left(ABC\right)$
2.le dénominateur de la fraction donnant $q$ est $v$
3.le dénominateur de la fraction donnant $r$ est $w$
tout comme $a=BC$ signifie que $a$ vaut la distance entre $B$ et $C$
$P_x$ est un point défini par la translation $P_x=G+x.\vec {GP}$
$GP_x$ distance entre le point $G$ et le point $P_x$
puisque $P_x=G+x.\vec {GP}$ est dit dans l'énoncé
Ensuite je ne comprends pas ce que signifie l'intérêt : pardon mais si on n'est pas intéressé on ne vient pas non?
Enfin tu dis que le calcul est aisé mais dans ce cas pourquoi dis-tu "peut être que mon résultat est bon"
mais je ne vois pas ton résultat (par contre le miens il est donné)
Bref j'attends que tu donnes ton résultat pour cette limite et qu'on voit si ce résultat est le même que le miens ou pas
Proposition (mais c'est pas certain que ça me fasse vendre un "tapis")
$ABC$ un triangle non plat
$G$ le centre de gravité de $ABC$
Soient $O$ un point et $d$ une droite
On considère l'inversion de pôle $O$ et de puissance $p$ des points de la droite $d$
$p$ est la limite définie selon $P=M+\vec {OG}$ avec les points $M$ de la droite $d$
Les coordonnées barycentriques normalisées $\left(i;j;k\right)$ de la formule qui donne le résultat de cette limite
sont celles des points $C+\vec {OM}$
Je viens de l'enlever de l'énoncé