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Bases trois et quatre en 6ème

Bonjour,
Je réfléchis à l'intérêt pédagogique éventuel de l'utilisation des bases avec de jeunes enfants. Je sais que l'expérience a déjà été faite il y a quelques décennies et que des leçons en ont été certainement tirées. 
Quand il s'agit de revoir avec de jeunes enfants pour la centième fois la numération de position, n'y aurait-il pas intérêt de choisir une autre base que la base dix ?
Prenons par exemple $132=(2:0:1:0)_4=2\times 4^3+0\times 4^2+ 1 \times 4^1+0\times1$. Le sens de la valeur de chaque chiffre, ici $2,0$ et $1$ revêt alors un aspect nouveau qui tranche avec le côté terni par l'habitude de la même notion en base dix. Bien sûr, sans citer John Von Neumann, il ne faut pas négliger en mathématiques l'importance de l'habitude. Mais en l'occurrence, j'imagine qu'il est aussi barbant pour les élèves que pour l'enseignant de revenir sur de telles "évidences" à propos de la base dix.
Par ailleurs, en base quatre, le critère de divisibilité par quatre est évident : ainsi $132$ est divisible par quatre.
En base trois, $4=(1:1)_3$. Ainsi, le fait qu'un nombre soit divisible par deux ssi il se termine par un chiffre pair, pourrait prendre un reflet nouveau puisque ce n'est pas vrai en base trois.
Etant d'une génération qui a profité étant enfant des derniers feux des mathématiques dites modernes, quand j'observe les difficultés d'enfants sur des notions aussi repassées que la numération de position, je me demande parfois si on a jeté le bébé avec l'eau du bain; et si le recours aux bases par exemple, nous ne nous l'interdisons qu'à cause de l'anathème jeté sur cette période, sans véritable justification pédagogique.
Pour en revenir au sujet du post, auriez-vous d'autres idées d'exploitation des bases disons trois et quatre pour des jeunes enfants ? (je n'ai par exemple pas parlé d'addition et de multiplication...) Ou alors des motifs pour éviter d'y recourir? Ou du moins des mises en garde ?
Cordialement.
P.S. : la décomposition en base $b$ quelconque reste un exercice classique de l'enseignement supérieur. Quand aura-t-on au cours de l'enseignement secondaire familiarisé un tant soit peu le futur étudiant du supérieur avec les bases ?

Réponses

  • Aucune idée de si c’est utile ou pas, nécessaire ou pas.
    Les exercices classiques* de 6e présentent un échec assez souvent. Rassurons nous (ou pas) un contrôle de 6e donné à des 3e permet de constater à nouveau de gros échecs. On peut donc réussir son collège en maths sans savoir résoudre ces exercices…

    *Exemple d’exercices : 
    1) écrire « trente » en écriture décimale. 
    Difficulté observée : « c’est quoi l’écriture décimale ? c’est le nombre à virgule ? »
    2) écrire 12,5/10 dans le tableau (joint à l’énoncé)
    Difficulté observée : deux ou trois élèves seulement réussissent dans une classe moyenne. 
    3) proposer un nombre non décimal. 
    Difficulté observée : cette consigne est pour la fine fleur du gratin de l’élitisme du meilleur bahut privé de Neuilly-sur-Seine.
    Il faudrait essayer en Terminale S. Échec garanti également, d’après moi. Et d’ailleurs, même dans les années 80, je suis persuadé que c’eût été un échec. 

    Revenons à nos moutons : pour travailler sur la base 4 par exemple, il faudrait montrer un compteur mécanique (même virtuel) à rouleaux. Ça doit se programmer. 
    C’est tout simplement le « 3 » qui fait tourner le rouleau de rang $n+1$, etc. Une telle cinématique remplacerait grandement un long discours et des grands gestes.  
  • Pour la base 4, tu as GA, BU, ZO et MEU, autrement dit, les chiffres shadoks.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @nicolas.patrois : salut. je leur ai passé le film; c'était à mourir de rire intérieurement car, comme ils sont intimidés par leur rentrée au collège, aucun n'osait même sourire :) 
    @Dom : de la difficulté d'enseigner à tous une science qui n'est "pas comprise par les non-mathématiciens " :)
  • Sinon, tu as le bibinaire de Boby Lapointe.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • @nicolas.patrois : je ne connaissais pas le bibinaire. Y-a-t-il une différence avec la base seize ? Ce que j'ai compris en visionnant rapidement une vidéo ou deux , c'est qu'un coefficient entre $0$ et $15$ est lui-même décomposé en base quatre. Par exemple, au lieu d'écrire $2022=(7:14:6)_{\text{seize}}$ ou plus classiquement $(7:E:6)_{\text{seize}}$ avec $E=14$, on écrit $2022=((1:3)_4:(3:2)_4:(1:2)_4)$.
  • Le bibinaire bien une base 16 décomposée en deux base 4 (un peu comme la base sexagésimale des Mésopotamiens ou la base 20 des Mayas).
    Exercice : programme le truc en Python.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Si jamais ça peut servir, voici à quoi ressemblait le chapitre de numération en sixième dans les années 70.
  • Ecrire $71=((B:O)_4:(B:I)_4)=4\times16+7\times1$ ou encore KOKOHADEBOKADODEBOBI (Coco a de beaux cadeaux de Bobi, Colette était la première femme de Boby) pour $881E49CE47$, c'est marrant. Mais cela commence à friser la numérologie, non? :)
  • @dp : c'est la présentation de la collection Queysanne-Revuz; j'ai un exemplaire de 1969 mais le chapitre numération est le chapitre 10 et il n'y est pas fait mention de bijection dès le début du chapitre comme dans ton intéressant exemplaire. Au passage, je crois qu'il y a toujours un laboratoire de pédagogie très actif André Revuz, non ?
  • dpdp
    Modifié (17 Sep)
    Il s'agit en effet de la collection Queysanne-Revuz, plus précisément du manuel de Sixième édition Série Rouge de 1975.
    Je ne sais pas ce qu'il en est de l'édition de 1969 mais dans celle de 1975 les relations puis les applications et bijections sont introduites, respectivement, dès le chapitre 2 et le chapitre 3.
    À noter d'ailleurs que ce chapitre en particulier n'a vraisemblablement pas survécu à la fin des mathématiques modernes dans le secondaire. En effet, il semble qu'une fois arrivé dans les années 80, il n'en restait aucune trace hormis une évocation somme toute très sommaire dans le chapitre d'arithmétique en sup.
  • j'ai lu récemment un manuel où l'auteur faisait des contorsions incroyables pour éviter d'écrire le mot "ensemble" ( l'ensemble des points à la distance R d'un point O donné je crois). Peut-être n'a-t-il pas compris la notion de "notion primitive", ou alors s'imagine-t-il s'attirer les bonnes grâces de l'inspection. :)  En tout cas, ça m'a agacé prodigieusement. Cela m'étonnerait qu'il dessine trois cailloux au tableau en les regroupant ensemble pour former un premier paquet noté $(1:0)_{\text{trois}}$. Quant à la notion conceptuelle (sic) d'ensemble d'ensembles, de trois paquets de tels paquets, n'en parlons pas. Mais avouons qu'un tel enseignement est médiocre au mieux, préjudiciable au pire.
  • DomDom
    Modifié (17 Sep)
    Exact. 
    Parler d’ensembles est sain et ne pose aucun problème. C’est très visuel dans un premier temps. 
    En début de collège, ça fonctionne très bien (ensemble de points - droite, segment, etc). Puis en 3e avec les probabilités, avec les notations entre accolades, et les événements. Rien de plus concret donc à ne pas s’interdire. 
  • @Dom : je savais que j'allais prêcher des convaincus, mais ça fait quand même un bien fou de lire ce que tu viens d'écrire, en particulier sur les probabilités. :)
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