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Montrer que la courbe de f admet une demi-tangente à droite en 0

Shadows AsgardShadows Asgard
dans Analyse
Bonjour j'ai un problème avec la question 2 de cet exercice où je dois montrer que la courbe de f admet une demi-tangente à droite en 0 car j'ai cherché la limite du taux d'accroissement de la fonction f en 0, mais j'ai trouvé moins l'infini comme limite. Alors que je suis censé trouver une limite finie ? Comment cela se fait-il ? 

Merci d'avance pour votre réponse

Réponses

  • bd2017bd2017
    Bonjour
    L'existence d'une demi-tangente n'implique pas l'existence d'une dérivée à droite.  Pense à la fonction  racine de $x,$  elle n'est pas dérivable en x=0 mais admet   bien une demi tangente (verticale)
     
  • Shadows AsgardShadows Asgard
    Modifié (October 2023)
    Mais je ne comprends pas, qu'est-ce qui ne va pas dans ce que j'ai fait, c'est pourtant bien la bonne méthode ?
  • lourrranlourrran
    Modifié (September 2022)
    Dans ton calcul , tu as fait une erreur  $f(x)-f(0) = f(x)-(-1) = f(x)+1= x^2-x\ln(x)$
    Et toi, tu as remplacé $f(0)$ par $1$ ... ou une erreur de ce type.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0gerard0
    Modifié (September 2022)
    Relis ce que disait Bd2017 : "L'existence d'une demi-tangente n'implique pas l'existence d'une dérivée à droite. "
    Parler de dérivée à droite n'est pas ici la bonne idée. Vois un cours sur les tangentes (et demi-tangentes).
    Ce que tu as écrit sur le 2) est correct sauf "Cette limite est alors notée $f'_d(0)". Si la limite est infinie, il n'y a pas de dérivée à droite. Mais ce qui précède est juste !
    Cordialement.
  • Shadows AsgardShadows Asgard
    Modifié (October 2023)
    Bonjour merci pour vos réponses et oui en effet Lourrran merci beaucoup pour votre vigilance j'avais en effet fait une faute d'étourderie que j'ai corrigé mais malheureusement je trouve toujours une limite infinie et donc d'après mon cours il n'y a pas de demi tangente possible ? Comment puis-je faire car là je suis complètement bloqué ? 
    Car par ailleurs je ne comprends pas ce que vous tentez de m'expliquer Gérard0, car vous dites que tout est bon dans ce que j'ai dit à la question 2 sauf à partir de ''cette limite est alors notée f'_d(0)". Mais pourtant je n'ai fait là que recopier le cours que j'ai consulté comme vous pouvez le voir dans mes messages précédents ou j'en ai fait une capture d'écran que je vous remets ici en pièce jointe avec mon nouveau calcul corrigé.
  • gerard0gerard0
    Modifié (September 2022)
    Effectivement, ton cours, si c'est ce que tu montres dans ton deuxième document, ne définit pas de façon générale les demi-tangentes. Donc soit tu admets qu'il en existe d'autres que celles de ton cours et tu conclus comme on te l'a proposé, soit tu arrêtes là le devoir, puisqu'il y a un blocage.
    L'erreur que je signale est très classique : il n'y a de dérivée que si la limite du rapport (taux de variation) est finie. Ce n'est pas  toujours le cas, comme ici, donc tu écris une bêtise. Et ton cours aussi !!
  • Julia PauleJulia Paule
    Bonsoir, il y a une tangente (ou une demi-tangente) si le taux d'accroissement admet une limite (ou une limite à droite ou à gauche), finie ou infinie. 
  • L2ML2M
    Modifié (September 2022)
    * Si la limite du taux de variation à droite en $a$ est finie (égale à un réel $l$) alors on dit que $f$ est dérivable en $a$ à droite et $l$ est appelé le nombre dérivé de $f$ à droite en $a$ noté $f'_d(a)$ et l'interpretaion géométrique de ce resulta est que la courbe de $f$ admet une demi-tangente au point $A(a,f(a))$ à droite de coefficient directeur ce $l$.

    * Si la limite du taux de variation à droite en $a$ est infinie (égale à $+-\infty$) alors on dit que $f$ n'est pas dérivable en $a$ à droite et $f$ n'admet pas de nombre dérivé en $a$ à droite mais la courbe de $f$ admet une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point $A(a,f(a))$ à droite  ("c'est comme si la demi tangente possède un coefficient directeur infini").
  • gerard0gerard0
    Modifié (September 2022)
    Et le cours (*) sur Bibm@th est rédigé de façon fausse (j'ai bien vérifié, la notion de limite inclut bien les limites infinies).
    Shadows Asgard, tu ferais bien d'utiliser un vrai cours de L1/prépa, rédigé avec plus de solidité que ce site. Le fait que $f$ est dérivable si le taux d'accroissement admet une limite finie est du cours du lycée, et oublier ce mot (comme dans cette page, à propos des dérivées à droite et à gauche) est inacceptable.
    Cordialement.
    (*) en fait, ce n'est pas le cours, mais le "dictionnaire"
  • Shadows AsgardShadows Asgard
    Modifié (September 2022)
    D'accord merci beaucoup pour vos réponses ! Donc j'ai réussi voilà ce que j'ai fait. Mais j'ai encore un petit doute en ce qui concerne l'allure de la courbe de f au voisinage de 0 car normalement, une asymptote ça ne touche pas la courbe en un point sauf si l'asymptote en question est oblique, mais par contre normalement je crois me rappeler qu'une tangente d'une courbe ça doit toucher la courbe en un point, mais le problème c'est que là on regarde la demi-tangente en 0 à droite et le problème c'est que la fonction f n'est pas définie en 0 donc la courbe de f ne peut pas toucher la tangente en 0 et donc ça donne l'allure que j'ai représenté sur mon graphique et ce qui fait que ma tangente en 0 à droite ressemble plutôt à une asymptote verticale avec Cf qui au voisinage de zéro va vers plus l'infini vu que la limite du taux d'accroissement en 0 à droite c'est plus l'infini, non ? C'est correct ?

  • gerard0gerard0
    Modifié (September 2022)
    "le problème c'est que la fonction f n'est pas définie en 0" ????
    Tu as utilisé f(0) plusieurs fois et tu racontes ça !! Ce n'est pas sérieux !
    D'ailleurs ta première phrase de corrigé est fausse :  "La fonction f est définie et continue si et seulement si  : x>0". Tu devrais réfléchir à ce que tu écris, après avoir bien lu l'énoncé.
    La tangente à la courbe de f en A(0,1) est l'axe des y, qui a bien le point A en commun avec la courbe.
    Un passage douteux : "une asymptote ça ne touche pas la courbe en un point sauf si l'asymptote en question est oblique".
    Tu parles en fait des asymptotes "verticales", mais même dans ce cas c'est faux, la fonction définie par g(0)=0 et pour $x\neq 0,\ g(x) = \frac 1 x$ a comme asymptote verticale l'axe des y, mais aussi un point commun avec cette asymptote, l'origine des axes.
    La fin de ton explication est bizarre, avec ce $C_f$ qui "va vers l'infini" alors que la courbe, en fait, se rapproche du point A. Tu mélanges f avec son taux d'accroissement ? Ton tracé de courbe montre bien que tu fais une énorme confusion. Relis la question 1
    Cordialement.
  • gerard0gerard0
    Modifié (September 2022)
    Tu as aussi intérêt à relire le lien entre le taux d'accroissement, les sécantes, les tangentes, tout ce qui se fait au lycée.
  • Shadows AsgardShadows Asgard
    Modifié (September 2022)
    D'accord merci beaucoup Gérard0 et donc j'ai effectué les modifications et j'obtiens plutôt ça, là je pense que c'est correct.

  • gerard0gerard0
    Oui. Attention au tracé de la courbe au voisinage de A, il doit y avoir une demi-tangente visible.
  • Shadows AsgardShadows Asgard
    Oui oui j'ai fait attention, la demi-tangente est visible en vert.
  • lourrranlourrran
    Tu as zoomé beaucoup trop large. ce qui se passe pour x=3 ou 4 n'est pas important pour l'exercice.
    Pour le dessin, si tu te limites à x=1 et donc y entre 0 et 1, tu pourras mieux illustrer ce qui se passe.  Et tu peux même limiter à x entre 0 et 0.2 par exemple.
    Ici, tu affirmes que la courbe  rouge est tangente à la flèche verte ; sur le dessin, on n'a vraiment pas cette impression.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • L2ML2M
    Modifié (September 2022)
    Il faut que la courbe et la demi tangente soient presque confondues sur un petit segment au voisinage de $0$. Pense à une droite tangente à un cercle en un point (image ci-dessous).
    .
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