Compacité
Bonjour, je considère, dans R muni de sa topologie classique, l'ensemble des rationnels éléments de [0,1] : est-ce un compact ?
La réponse est sûrement "non", les compacts de R étant les intervalles fermés et bornés, et les réunions de tels intervalles.
Mais j'ai du mal à voir pourquoi, en revenant à la définition "de tout recouvrement ouvert on peut extraire un recouvrement fini".
Quel serait un recouvrement ouvert de cet ensemble, dont on ne pourrait pas extraire un recouvrement fini ?
Réponses
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Il y a des suites de rationnels de $[0,1]$ qui convergent vers des irrationnels. Donc $[0,1] \cap \mathbb{Q}$ n'est pas compact : il n'est pas fermé. Donc, théoriquement, il existe effectivement un recouvrement ouvert de $[0,1] \cap \mathbb{Q}$ dont on ne peut extraire un sous-recouvrement fini. Mais je ne vois pas de construction effective. De toutes façons, les caractérisations par les suites sont des outils puissants : la preuve.
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Les ouverts $]n+\sqrt{2};n+1+\sqrt{2}[$, pour $n$ parcourant les relatifs, recouvrent $\Q$ mais il n'y a pas de sous-recouvrement fini (sinon $\Q$ serait borné).
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La phrase correcte étant "les compacts de $\mathbb R$ sont les fermés bornés". Une réunion de fermés n'étant en général pas fermée...Il n'y a pas que le caractère non borné de $\mathbb Q$ qui est en cause dans sa non compacité. Voici un recouvrement ouvert de $\mathbb Q \cap ]0, 1[$ n'admettant pas de sous-recouvrement fini : soit $x$ un irrationnel dans $[0, 1]$, alors on a $\mathbb Q \cap ]0, 1[ \subset \bigcup_{n \geq 1} \left ]0, x - \frac{1}{n}\right[ \cup \left] x + \frac{1}{n}, 1\right[$.
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Et voici un recouvrement ouvert de $\mathbb Q \cap [0, 1]$ n'admettant pas de sous-recouvrement fini : soit $x$ un irrationnel dans $[0,1]$, alors on a $\mathbb Q \cap [0, 1] \subset \bigcup_{n \geq 1} \left ]-\infty, x - \frac{1}{n}\right[ \cup \left] x + \frac{1}{n}, +\infty\right[$.
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BonjourOn peut aussi montrer que si c'est vrai alors tout irrationnel est rationnel (ie qu'il n'existe pas de nombre irrationnel) en utilisant une fonction continue sur un compact à valeurs réelles atteint ses bornes.
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Merci beaucoup, vos réponses m'ont bien aidé, et montrent aussi qu'on a pas mal d'angles différents sous lesquels aborder les questions de compacité. Bon début de semaine à tous et toutes !
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