Produit des cosinus des angles d'un triangle
Bonjour
$$\big(\frac bc+\frac cb\big)\cos(A)+ \big(\frac ac+\frac ca\big)\cos(B)+\big(\frac ab+\frac ba\big)\cos(C)\le 3,$$ que le produit des cosinus $\cos(A)\cos(B)\cos(C)\leq 1/8$.
Je partage cet exercice.
Soit un triangle aigu de cotés de longueurs $ a,b, c$ et d'angles notés $A,B , C$.
Démontrer en utilisant l'inégalité suivante sans démonstration $$\big(\frac bc+\frac cb\big)\cos(A)+ \big(\frac ac+\frac ca\big)\cos(B)+\big(\frac ab+\frac ba\big)\cos(C)\le 3,$$ que le produit des cosinus $\cos(A)\cos(B)\cos(C)\leq 1/8$.
Le 😄 Farceur
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Avez-vous essayé d'utiliser la relation
$\left(\dfrac {b}{c}+\dfrac {c}{b}\right)\times \cos\left(A\right)=\cos\left(A\right)\times \left(2\cos\left(A\right)+\dfrac {a^2}{bc}\right)$
idem avec les deux autres relations correspondantes.
Moi perso je n'ai rien fait mais c'est peut-être intéressant d'utiliser ça dans ce contexte.
Pour le moment je regarde comme un enfant émerveillé l'inégalité, d'où provient-elle ?
@quelquun de bien
Une idée pour l'inégalité $\big(\frac bc+\frac cb\big)\cos(A)+ \big(\frac ac+\frac ca\big)\cos(B)+\big(\frac ab+\frac ba\big)\cos(C)\le 3,$
Pour un triangle on a vu que $$\prod_{i=1}^{3}\cos\left(A_{i}\right)\leq\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)^{3}.$$
$ \quad b = c \cos(A) + a \cos(C) $
$ \quad c = a \cos(B) + b \cos(A).$
$ \quad 1 = \dfrac{c}{b} \cos(A) + \dfrac{a}{b} \cos(C) $
$ \quad 1 = \dfrac{a}{c} \cos(B) + \dfrac{b}{c} \cos(A).$
Par somme, on obtient :
$\dfrac{b}{a} \cos(C) + \dfrac{c}{a} \cos(B)+\dfrac{c}{b} \cos(A) + \dfrac{a}{b} \cos(C)+\dfrac{a}{c} \cos(B) + \dfrac{b}{c} \cos(A) = 3$
soit
$\dfrac{c}{b} \cos(A)+\dfrac{b}{c} \cos(A)+\dfrac{c}{a} \cos(B)+\dfrac{a}{c} \cos(B)+\dfrac{b}{a} \cos(C) +\dfrac{a}{b} \cos(C)=3$
donc
$(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}) \cos(A)+(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c})\cos(B)+(\dfrac{b}{a} +\dfrac{a}{b}) \cos(C)=3$
@Boécien il faut commencer par un quadrilatère convexe.