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Autour du cercle de Lester

Modifié (12 Sep) dans Géométrie
Bonjour,

Voilà un problème posé par Ivan Pavlov sur la liste Euclid.
On connaît les points de Fermat:
Si $BCA', CAB', ABC'$ sont trois triangles équilatéraux extérieurs au triangle $ABC$, alors les droites $(AA'),(BB'),(CC')$ sont concourantes en $F_1$.
Si on prend les triangles équilatéraux recouvrant au moins partiellement $ABC$, on obtient le second point de Fermat $F_2$.
June Lester a alors montré en $1997$ que les quatre points $F_1,F_2,O,N$ ($O$ et $N$ sont centres des cercles circonscrit et d'Euler du triangle $ABC$) sont cocycliques sur un cercle appelé cercle de Lester du triangle $ABC$.
Soit alors $\Omega(\omega)$ le centre radical des cercles de Lester des triangles $BCI,CAI,ABI$ où $I$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.
$X_{21}$ est le point de Schiffler (Intersection des droites d'Euler de $BCI,CAI,ABI$)
$X_{36}$ est l'inverse de $I$ par rapport au cercle circonscrit.
Enfin, la question, pour faire plaisir à Pappus qui aime les points alignés :):
Montrer que $X_{21},X_{36},\Omega$ sont alignés.
Avec Morley inscrit, je trouve:
$x_{21}=\dfrac{2s_3(s_1^2s_2-2s_1s_3-s_2^2)}{(s_1s_2-s_3)(s_1s_2-4s_3)}, x_{36}=\dfrac{2s_3}{s_2}$ 
et $\omega=\dfrac{2s_3(-3s_1^5s_2s_3+s_1^4s_2^3+14s_1^3s_2^2s_3-4s_1^2s_2^4+8s_1^2s_2s_3^2-28s_1s_2^3s_3-32s_1s_3^3+6s_2^5+32s_2^2s_3^2)}{(s_1s_2-4s_3)(-3s_1^4s_2s_3+s_1^3s_2^3+6s_1^3s_3^2+9s_1^2s_2^2s_3-3s_1s_2^4-36s_1s_2s_3^2+6s_2^3s_3+32s_3^3)}$
Un déterminant nul montre alors l'alignement.

Cordialement,
Rescassol

Ci-joint une figure (les $3$ cercles de Lester ne sont pas concourants) et le fichier Géogébra (Pavlov01.pdf à renommer en Pavlov01.ggb)

Edit: $\Omega$ n'est pas dans l'ETC.



Réponses

  • Merci, Rescassol, c'est intéressant !
    Même si démontrer cet alignement est largement hors de mes pauvres moyens ...
    Bien cordialement, JLB
  • Bonjour Rescassol,

    merci pour ce joli problème...
    Le point oméga est-il répertorié chez ETC?
    SI oui, sur quelles lignes centrales se trouve-t-il?

    Merci pour ces précisions.
    Sincèrement
    Jean-Louis

  • Bonsoir,

    Non, il n'est pas dans l'ETC, comme je l'ai écrit plus haut.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Modifié (13 Sep)
    Bonjour,
    merci Rescassol....

    Les preuves synthétiques du cercle de Lester, du point de Schiffler et de l'inverse de I (relayées par des relations métriques) étant possibles, n'ayant aucune information sur le point oméga, il me semble qu'une approche synthétique de l'alignement soit vraiment difficile...A moins que...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Personne pour relever ce défi synthétique?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (17 Sep)
    Bonjour,
    pour le point de Schiffler
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol9.html
    puis
    Le point de Schiffler...
    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Modifié (17 Sep)
    Bonjour,
    pour l'inverse de I
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol50.html
    puis
    43. 1. Cercles coaxiaux Problème 1
    Sincèrement
    Jean-Louis
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