Un exercice niveau collège que je sais maintenant faire
Bonjour
Je bute sur un exercice dont l'énoncé est simple . Soit ABCD une carré. On note E le milieu de [D,C], puis on trace la perpendiculaire à la droite (AE) passant par B. On note F le point de rencontre avec [A,E]. Démontrer que CF=CD.
C'est un exercice donné par un prof au collège à ses élèves et a dit que celui qui trouve est un génie . (Je poste au forum d'analyse pour que pldx ne me tombe pas dessus )
Je bute sur un exercice dont l'énoncé est simple . Soit ABCD une carré. On note E le milieu de [D,C], puis on trace la perpendiculaire à la droite (AE) passant par B. On note F le point de rencontre avec [A,E]. Démontrer que CF=CD.
C'est un exercice donné par un prof au collège à ses élèves et a dit que celui qui trouve est un génie . (Je poste au forum d'analyse pour que pldx ne me tombe pas dessus )
Le 😄 Farceur
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Réponses
Je vais me concentrer sur l'indication de @gai requin
un triangle rectangle dont le coté opposé (hypoténuse) est le diamètre d'un cercle, est un triangle inscrit dans ce cercle
C'est tout pourri comme méthode mais cela fonctionne.
Le repère qui s'impose ici est évident. Cela permet de n'avoir qu'un point dont il s'agit de trouver les coordonnées. Les autres ont des des coordonnées évidentes.
Connaître le produit scalaire aide bien sûr.
La meilleure méthode est celle de Gai Requin.
Cordialement,
Rescassol
Donc je réponds à ta question CE=1/2 BA
Soit $G$ l'intersection de $\left(BC\right)$ et $\left(AE\right)$. Comme $\left(AB\right)$ et $\left(EC\right)$ sont parallèles et que $AB=2EC,$ on a $BG=2BC$ donc $C$ est milieu de $\left[BG\right]$. Ainsi le triangle rectangle $BGF$ est inscrit dans le cercle de diamètre $\left[BG\right]$. Donc $CF=CD$.
Mais tu as utilisé un théorème que je ne connaissais pas , je connaissais seulement la version suivante un triangle dont l'un des cotés est un diamètre inscrit dans un cercle, est un triangle rectangle, je ne pense pas que j'ai vu au collège la version un triangle rectangle dont le coté opposé (hypoténuse) est le diamètre d'un cercle, est un triangle inscrit dans ce cercle à confirmer par les profs en exercice au collège.
Merci à vous tous , vous avez sauvé mon honneur
Si ce sont des extras à la place du programme, tout dépend de la proportion, mais il ne peut pas lui arriver grand chose non plus à part une tape sur les doigts.
Bonne idée d'utiliser les aires.
Pour les derniers commentaires concernant l'aire et les côtés
On peut utiliser des équations du quatrième degré par la relation:
$ABC$ un triangle et $\mathcal {A}$ son aire
$a=BC,b=CA,c=AB$
Alors
$a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2+16\mathcal {A}^2=0$
FEB=60, non, mais on peut sauver la démo de JLapin:
EAB=FBC comme complémentaires du même angle ABF.
Les deux triangles EAB et CFB ayant deux angles égaux ont leur troisième angle égal aussi.
Et comme EAB est isocèle, CFB l'est aussi.
Cordialement,
Rescassol
mon point de vue...
1. le quadrilatère FECB est cyclique
2. (EC) est la E-bissectrice extérieure du triangle EBF
3. CF = CB.
Sincèrement
Jean-Louis
Jean-Louis, pour un niveau collège, tu n'en dis pas assez, tu sautes trop d'étapes.
Cordialement,
Rescassol