Ensemble vide et objet initial/final
Bonjour,
depuis que j'ai commencé les catégories j'ai du mal avec la notion "vide".
depuis que j'ai commencé les catégories j'ai du mal avec la notion "vide".
Soit $\mathcal{C}$ une catégorie soit $\mathcal{D}$ le diagramme vide dans $\mathcal{C}$, j'ai lu que la limite du diagramme vide existe si et seulement si il existe un objet final dans $C$ et si elle existe la limite est égale à l'objet final. Bon je pense que le diagramme vide c'est le diagramme sans flèches et sans objets.
Etant donné que pour définir un morphisme d'un objet $T$ vers un diagramme de $\mathcal{C}$ on doit donner une famille de flèches.
Est ce que la justification de cette assertion c'est pour tout $T$ objet de $\mathcal{C}$, $Hom(T,\mathcal{D})$ est réduit à un élément et cet élément est la famille vide? et donc soit $Y$ objet de $\mathcal{C}$ pour tout $T$, $Hom(T,Y)$ est en bijection avec $Hom(T,\mathcal{D})$ si et seulement si $Hom(T,Y)$ est réduit à un élément si et seulement si $Y$ est final.
J'ai une autre question, j'ai lu que dans la catégorie des ensembles l'ensemble vide est un objet initial.
Soit $Y$ un ensemble je ne comprends pas la définition de $ f : \emptyset \mapsto Y$ ? Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
1°) pour tous $x,y$, si $(x,y)\in f$ alors $x\in a$ et $y\in b$
2°) pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et si $(x,z)\in f$ alors $y=z$
3°) pour tout $x\in a$ il existe $y\in b$ tel que $(x,y)\in f$.
Édit. Une application serait donc un triplet dont les deux premiers termes sont la source, et le but et dont le troisième terme est le graphe.