Ensemble vide et objet initial/final

Barjovrille
Barjovrille
Modifié (September 2022) dans Catégories et structures
Bonjour,
depuis que j'ai commencé les catégories j'ai du mal avec la notion "vide".
Soit $\mathcal{C}$ une catégorie soit $\mathcal{D}$ le diagramme vide dans $\mathcal{C}$, j'ai lu que la limite du diagramme vide existe si et seulement si il existe un objet final dans $C$ et si elle existe  la limite est égale à l'objet final. Bon je pense que le diagramme vide c'est  le diagramme sans flèches et sans objets.
Etant donné que pour définir un morphisme d'un objet $T$ vers un diagramme de $\mathcal{C}$ on doit donner une famille de flèches.
Est ce que la justification de cette assertion c'est pour tout $T$ objet de $\mathcal{C}$, $Hom(T,\mathcal{D})$ est réduit à un élément et cet élément est la famille  vide? et donc soit $Y$ objet de $\mathcal{C}$ pour tout $T$,   $Hom(T,Y)$ est en bijection avec $Hom(T,\mathcal{D})$ si et seulement si $Hom(T,Y)$ est réduit à un élément si et seulement si $Y$ est final.
J'ai une autre question, j'ai lu que dans la catégorie des ensembles l'ensemble vide est un objet initial.
Soit $Y$ un ensemble je ne comprends pas la définition  de  $ f : \emptyset \mapsto Y$ ?

Réponses

  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    $f=(0;Y;0)$
  • Foys
    Foys
    Modifié (September 2022)
    Dans la catégorie des ensembles, une flèche de $a$ vers $b$ est un ensemble $f$ de couples tel que
    1°) pour tous $x,y$, si $(x,y)\in f$ alors $x\in a$ et $y\in b$ 
    2°) pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et si $(x,z)\in f$ alors $y=z$
    3°) pour tout $x\in a$ il existe $y\in b$ tel que $(x,y)\in f$.
    On dit aussi que "$f$ est une fonction de $a$ dans $b$".
    Ces définitions entraînent que $\emptyset$ est une fonction de $\emptyset$ dans $Y$ pour tout ensemble $Y$.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • [Utilisateur supprimé]
    [Utilisateur supprimé]
    Modifié (September 2022)
    @Foys, je crois que pour les besoins de la théorie des catégories (notamment la définition de la fonction "but"), on ne peut pas utiliser la définition "ensemble de couples" puisque cette dernière ne prend en compte que les applications surjectives. Il vaut mieux définir les applications comme des triplets, du moins pour la catégorie des ensembles.

    Édit. Une application serait donc un triplet dont les deux premiers termes sont la source, et le but et dont le troisième terme est le graphe.
  • Foys
    Foys
    @cohomologies: tu décores la définition de fonction avec le couple source/but et ça passe. Ma définition le fait (elle les cite: cf le point 3).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @Barjovrille : bonjour. Je t'invite à suivre ce lien.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (September 2022)
    Bonjour, merci pour vos réponse.
    Avec vos deux définitions je peux répondre à ma question.
    Celle de @cohomologies je peux dire que $Y \mapsto (0;Y;0)$ est une bijection de l'ensemble des ensembles et l'ensemble des flèches de source l'ensemble vide.
    Donc l'ensemble vide est initial.
    Et avec la définition  de @Foys je peux dire que pour tout $Y$ la seule flèche qui part de l'ensemble vide et qui va dans $Y$ est l'ensemble vide, et on a aussi l'ensemble vide est initial.
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Merci @Thierry Poma  je vais regarder.
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Correction dans mon avant dernier message j'ai écris "l'ensemble des ensembles" mais je crois que je n'ai pas le droit d'écrire ça? (je ne suis pas un expert en théorie des ensembles mais il me semble que l'ensemble des ensembles est un "objet" qui n'existe pas)
    Je réfléchis à une autre formulation.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Barjovrille : non. Mais tu peux parler de la classe de tous les ensembles, en théorie des classes VN-B-G.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Barjovrille
    Barjovrille
    Modifié (September 2022)
    Ok merci @Thierry Poma
    Si on peut parler de fonction et de bijection quand l'espace de départ/arrivé est une classe ça règle le problème.
    Sinon pour la définition de cohomologies, une solution qui casse moins la tête je pense, c'est utiliser la propriété des triplets.
    Soit $Y$ un ensemble, d'après la définition $(0;Y;0)\in Hom( \emptyset, Y)$, donc $Hom( \emptyset, Y)$ est non vide.
    Par la propriété des triplets soit $Z$ un ensemble si $(0;Y;0)=(0;Z;0)$ alors $Y=Z$ donc $\forall Y$,  $Hom( \emptyset, Y)$ n'a qu'un seul élément. (Ça revient à parler d'injectivité / surjectivité mais on n'écrit pas explicitement classe des ensembles ou "ensemble des ensembles").
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