Deux segments égaux

Jean-Louis Ayme
Jean-Louis Ayme
Modifié (September 2022) dans Géométrie
Bonjour,
un problème personnel...
1. ABCD    un carré
2. (1)         le cercle de diamètre [AB]
3. P           un point de (1) comme indiqué sur la figure
4. M, N      les points d'intersection de [AB] resp. avec (PD), (PC)
5. X           le second point d’intersection de (PD) avec (1)
6. (2)        le cercle circonscrit au triangle XN
7. T          le second point d'intersection de (2) avec (NA).
Question :     TA = MN.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis

Réponses

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Modifié (September 2022)
    Bonjour Jean-Louis, bonjour à tous,
    En écrivant que la puissance du point $M$ est égale par rapport aux deux cercles, j'arrive à déduire que montrer l'égalité des deux segments $MN$ et $AT$ revient à montrer l'égalité $MA.NB = MN²$ ... autrement dit, $MA/MN = MN/NB$, et je subodore que pour un carré et et un cercle ayant pour diamètre un côté de ce carré, cette relation est connue ... Mais encore faut-il la démontrer !
    Bien cordialement, JLB
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Modifié (September 2022)
    Bonjour à tous,
    Voici une démonstration du lemme auquel je faisais allusion ... Je dois dire que j'ai mis plusieurs heures à trouver les "bonnes" paires de triangles semblables !
    Nanti de ce résultat qui s'écrit ici $MA.BN = MN²$, j'écris que le point $M$, puisqu'il appartient à l'axe radical PXD des deux cercles, a la même puissance par rapport à chacun d'eux : $MB.MA = MN.MT = MN(MA+AT)$, d'où $(MB-MN)MA = BN.MA = MN.AT = MN²$, d'où $AT = MN$.
    Quod erat demonstrandum !

    Bien cordialement, JLB


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