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Le groupe de Klein

Modifié (16 Sep) dans Algèbre
Bonjour,
sur la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_de_Klein
Je ne comprends pas la proposition : " le produit de deux éléments distincts d'ordre 2 est égal au troisième."
J'imagine qu'il s'agit du produit direct ? Dans ce cas c'est faux ?
Merci.

Réponses

  • Pourquoi parles-tu de produit direct ? Dans le groupe de Klein, le produit de deux éléments distincts d'ordre $2$ est bien égal au troisième élément d'ordre $2$ de ce groupe.
  • Modifié (16 Sep)
    Ok je n 'ai pas compris du tout ce qu'on entend par produit de 2 éléments du groupe ...
    J'en déduis que $(1;0) \times (0;1) $ n' est donc pas égal à $(1 \times 0; 0 \times 1 )= (0;0)$...?
    Faut-il comprendre le mot "produit" comme une "somme" ?
  • Modifié (16 Sep)
    Le groupe de Klein est commutatif, donc on le note plutôt additivement en effet,
    quand on pense à lui sous la forme $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/2\mathbf{\Z}$. Le mot
    « produit » de deux éléments est alors à comprendre comme la somme. Par exemple, $(1,0)+(0,1)=(1,1)$.

    On peut aussi le réaliser multiplicativement, en considérant le sous-groupe des permuations sur $4$ lettres, $\mathfrak{S}_4$, constitué des double transpositions et de l'identité : $\{\text{Id},\ (1 2)(3 4),\ (1 3)(2 4),\ (1 4)(23)\}$. Le « produit » est ici la composition des permutations.
  • Modifié (16 Sep)
    @Jean 23 : ok merci pour les explications... c'est bien ce que je pensais.
    Du coup pourquoi parle-t-on de "produit" quand il s'agit d'une somme ??
    Quand je pense que gérard me sermonnait hier sur mon manque de rigueur avec les mots employés en maths (et il avait tout à fait raison du reste), cela me laisse perplexe !! :-S
  • C’est pire quand tu parles de translations.
    Tu peux les ajouter (comme des vecteurs), les composer (comme des applications) et les multiplier (comme des éléments du groupe des isométries). Tout dépend du point de vue.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Effectivement...c'est du propre !! qu'en penses-tu gerard ?? :-D
  • Mais je n'ai rien à reprocher ici, Totem. Dans des contextes différents, les mots mathématiques adéquats sont différents. Et inversement, le même mot servira à des usages différents.
    L'un des grands apprentissages en mathématiques est de reconnaître, sous des habillages distincts, les mêmes structures, de reconnaître les isomorphismes.

    Cordialement.
  • Modifié (16 Sep)
    Reçu.
    J'ai beaucoup plus de mal avec l'algèbre qu'avec l'analyse même si je reconnais volontiers l'intérêt de l'algèbre ; je ne sais pas trop pourquoi du reste... peut-être parce que c'est beaucoup plus abstrait ? Et on ne faisait guère d'algèbre au lycée de mon temps (~1997).
  • Modifié (16 Sep)
    Je te rejoins sur ce fait : "J'ai beaucoup plus de mal avec l'algèbre qu'avec l'analyse". J'ai du mal à réfléchir en termes de structure. Et pourtant, c'est en algèbre que j'ai eu mes meilleurs notes à l'agreg interne. Mais n'ayant aucune intuition, quand je bloque, je n'ai pas de solution.
    Cordialement.
  • Modifié (16 Sep)
    gerard0 a écrit:
    Mais n'ayant aucune intuition, quand je bloque, je n'ai pas de solution.
    Moi, c’est le contraire : j’en ai trop… même quand c’est à l’ouest.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @nicolas: et c'est mal d'avoir trop d'intuition ??
  • Oui, quand ça joue des tours (parce qu’il faut bien rationaliser tout ça, sinon…)
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (16 Sep)
    Cela me rappelle un chercheur en physique des matériaux qui m'avait dit un jour : " en recherche il y a une phase de recherche qui s'apparente à de la mast..bation intellectuelle, ensuite place à la rationalité sinistre et implacable":-D:-D
    Je ne sais pas si ça s'applique aux maths ?
  • @totem : on doit avoir à peu près le même âge, j'ai eu le bac en 1999.
  • Moi 1997 ! puis 2 ans de prépa...
  • Modifié (16 Sep)
    totem a écrit:
    Je ne sais pas si ça s'applique aux maths ?
    Probablement que si, Daniel Perrin dit à peu près la même chose.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • @totem : bonjour. Une autre façon classique de concrétiser le groupe de Klein, autre que celles proposées par Jean Vingt-trois, est de l'envisager comme "le groupe du matelas", ie le groupe G des symétries du rectangle. Si l'on note $x$ et $y$ les symétries par rapport aux médianes du rectangle, il est alors clair que le produit de deux éléments distincts différents de $1$ est égal au troisième. On a $x^2=1$, $y^2=1$, $xy=yx$, $(xy)^2=1$ et $G=\{1,x,y,xy\}$.
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