Pourquoi diagonaliser plutôt qu'échelonner ?

 
Bon, j'ai continué de réfléchir et voici ce que j'ai, pour l'instant.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, soit $\Omega$ un ensemble, et soit $F$ un sous-espace de l'espace des fonctions de $\Omega$ dans $E$. On pose, pour tout $M \in End(E)$, $\tilde{M}$ l'endomorphisme de $E^\Omega$ qui à toute $f$ associe l'application $\omega \mapsto M(f(\omega))$ (au fait, $\tilde{\cdot }$ est un morphisme pour la composition). On suppose que $F$ est stable par tous les $\tilde{M}$.

On considère ensuite une application $T : F \rightarrow F$ qui commute à tous les $\tilde{M}$ (j'appelle cette propriété la "localité").


Exemples  : 1) On prend $\Omega := \mathbb{N}$, $E := \mathbb{R}$, $F = \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$, et, pour toute suite $u$, et tout $n$, $T(u)_n = u_{n+1}$. On prend $M := \lambda$, et l'équation $Su = \tilde{M}u$ est donc équivalente à $\forall n\in \mathbb{N},\quad u_{n+1} = \lambda u_n$.

2) On prend $\Omega := \mathbb{N}$, $E := \mathbb{R}^k$, $F := (\mathbb{R}^k)^{\mathbb{N}}$, et, pour toute suite $u$, et tout $n$, $T(u)_n = u_{n+1}$. On considère une matrice $M$ de la forme $\begin{pmatrix}
0 &1 &0 &\cdots &0\\
\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots\\
\vdots & &\ddots &\ddots &0\\
0 &\cdots &\cdots &0 &1\\
a_0 &\cdots &\cdots &\cdots &a_{k-1}\\
\end{pmatrix}.$

Alors l'équation $Tu = \tilde{M}u$ est donc équivalente à $\forall n\in \mathbb{N},\ u_{n+k} = a_0 u_n + \cdots + a_{k-1} u_{n+k-1}$.

3) On prend $\Omega := \mathbb{R}$, $E := \mathbb{R}$, $F := C^\infty$, et pour toute $f \in F$, $Tf := f'$. On prend $M = \lambda$, et l'équation $Tf = \tilde{M}f$ est donc équivalente à $f' = \lambda f$.