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Un produit infini

Modifié (14 Sep) dans Analyse
Bonjour à tous,

Existe-t-il une suite $(u_n)$, telle que le produit infini $ \displaystyle \prod_{k=1}^\infty(1+u_k) $ converge mais la série $ \displaystyle \sum u_n $ diverge ? 

Je pleure face à cette question. La moindre indication est bienvenue.

On rappelle qu'un produit infini est dit convergent si la suite des produits partiels converge vers une limite finie non nulle
(c'est comme ça ; sur wikipedia par exemple et à d'autres endroits de la littérature).

Si le produit converge, $1+u_n$ tend vers $1$ et donc $u_n$ tend vers 0.
Si la suite est à terme réels et est de signe constant à partir d'un certain rang, le produit et la série ont même nature grâce au saint logarithme népérien.
Donc il faudrait aller chercher des suites alternées par exemple ;
Ou bien montrer qu'il n'en existe pas, mais ça ne me paraît pas du tout évident... :=)

Réponses

  • Modifié (14 Sep)
    La suite constante égale à -1 ?
    Je répondais à la question juste après le "bonjour à tous", si c'est bien la question alors c'est bon.
    Sinon, toujours pour la même question, il suffit que la suite u atteigne -1 pour que le produit converge, donc il suffit de prendre n'importe quelle série divergente dont le terme général atteint -1.
  • @cohomologies

    Le produit doit converger vers une limite non nulle (c'est en gras).
  • Modifié (14 Sep)
    Ok, à vrai dire, je n'ai rien lu après le point d'interrogation. Édit. Je me disais bien qu'il devait y avoir un piège quelque part, mettre le point d'interrogation trop tôt, tu m'as eu 😆
  • Commençons par quelque chose de faux :
    $U_{2k} = -0.5$
    $U_{2k+1} = +1$
    Avec cette suite , on a le résultat voulu, si on prend la convergence telle que définie par certains...

    Donc partons sur cette base :
    $U_{2k} = -0.5/k$
    $U_{2k+1} = +1/k$
  • Modifié (14 Sep)
    Bonjour,
    On peut chercher une suite $(u_n)$ vérifiant $1-u_{2k+1}=\frac1{1+u_{2k}}$ pour tout $k$ et telle que $\big(u_{2k}+1-\frac1{1+u_{2k}}\big)_k$ n'est pas sommable. Par exemple $u_{2k}=k^a$ pour un certain $a$.
  • Modifié (14 Sep)
    Bonjour
    Avec $\ln(1+u_n)=(-1)^n/n^{0,5}$ ???
    À vérifier.
  • La page Wikipedia dit que dans le Arnaudiès il y a un contre-exemple. Le voici : 

  • @Lars Dans ton exemple le produit tend vers 0.

    En effet :  $ u_n - \mathrm{ln}(1+u_n) \sim u_n^2/2 $
    Or : $\sum u_n^2 $ diverge et est positive donc la somme partielle tend vers $+\infty$ ; 
    Donc la somme partielle de $u_n - \mathrm{ln}(1+u_n) $ aussi (par théorème de sommation des relation de comparaison, elle est équivalente à la somme partielle précédente)
    Or $\sum u_n $ converge donc $\sum\limits_{k=2}^n - \mathrm{ln}(1+u_k) \to +\infty $
    Donc $\sum\limits_{k=2}^n \mathrm{ln}(1+u_k) \to -\infty $ donc en passant l'exp le produit tend vers 0.

    @raoul.S Merci ! Pour une raison étrange je n'avais pas pensé à mettre plusieurs termes...
  • Modifié (15 Sep)
    Non, le produit ne tend vers 0.
    L'exponentielle réelle (ou complexe) ne s'annule nulle part.
  • @Lars

    On a $ \displaystyle \sum_{k=2}^N \mathrm{ln}(1+u_k) \xrightarrow[N\to\infty]{} -\infty $ comme je l'ai montré
    Par composition de limites, $ \displaystyle \exp\left( \sum_{k=2}^N \mathrm{ln}(1+u_k) \right) \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 $
    Soit $ \displaystyle \prod_{k=2}^N (1+u_k) \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 $
  • Modifié (15 Sep)
    Bonsoir
    Soit $(u_n)_{n\ge 2}$ suite telle que définie plus haut ie
    $\forall n\ge 2, \ln(1+u_n)=a_n$ où $\forall  n\ge 2, a_n=(-1)^n/n^{0,5}$
    Critère de Leibniz (appelé aussi critère spécial des séries alternées) : $\sum a_n$ converge (la suite est alternée, de valeur absolue décroissante tendant vers 0).
    Donc par égalité des deux suites (et unicité de la limite dans un espace métrique) $\sum \ln(1+u_n)$ converge.
    (le point de désaccord est ici : vous avez démontré que cette série diverge vers $-\infty$).
    Ça signifie que la suite $(S_n)_{n\ge 2}, S_n:=\sum_{k=2}^n \ln (1+u_k)$ converge (définition de la convergence d'une série) vers un réel et donc $(e^{S_n}) $ converge vers un réel strictement positif (continuité de la fonction exponentielle sur $\R$, théorème de composition, et fonction exponentielle strictement positive sur $\R$ en particulier ne s'annulant nulle part) .
    Et $e^{S_n}=\prod_{k=2}^n (1+u_k)$ etc...
  • Je crois que Lars et SandwichFromage ne parlent pas de la même suite...
  • Modifié (15 Sep)
    Le terme général était défini dans un message plus haut.
    Dans ce cas si on ne parle pas de la même suite, il reste à vérifier qu'elle répond au cahier des charges.
    $$u_n=e^{a_n}-1=a_n+a_{n}^{2}/2+O(|a_n|^3)$$ et on vérifie que la série de terme général le terme de droite est somme d'une série convergente ($\sum a_n$)+ série divergente ($\sum a_{n}^{2}/2$) + série convergente (le dernier terme est un $O(1/n^{3/2})$) et finalement $\sum u_n$ diverge.
  • En effet, on ne parlait pas de la même suite. Pour moi, c'était $ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $ mais Lars avait proposé $\mathrm{ln}(1+ u_n) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} $... Donc on avait tous deux un peu raison (mais un peu plus lui puisque je n'ai pas lu ce qu'il fallait x)

    En tout cas merci pour cet autre contre exemple @Lars
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