Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.
Soit $ABC$ un triangle du plan euclidien.
Quelle condition géométrique simple doit vérifier une droite de ce plan pour qu'elle contienne deux points isogonaux distincts par rapport au triangle $ABC$?
Amicalement
pappus
Réponses
Bonne journée, Ludwig
Je suis content de pouvoir mettre mon granum salis dans ce fil qui n'a pas eu cent réponses avant que j'aie eu le temps de le lire.
Amitiés à tous ! j__j
Cela étant dit, comment caractériser les droites du plan qui contiennent deux points isogonaux distincts ?
J'ai écrit l'équation d'une droite passant par un point et son isogonal : $\left(\begin{array}{rrr}X&x&\frac{a^{2}}{x}\\Y&y&\frac{b^{2}}{y}\\Z&z&\frac{c^{2}}{z}\\\end{array}\right)=0$.
On trouve $Xx\left(c^{2} \; y^{2} -b^{2} \; z^{2} \right) + Yy\left(a^{2} \; z^{2} - c^{2} \; x^{2} \right) + Zz\left(b^{2} \; x^{2}-a^{2} \; y^{2} \right) = 0$.
Que faire de cela ? Pour l'instant je n'en sais rien du tout.
Il reste alors à discuter le nombre de points d'intersection réels et cela dépend d'un discriminant qui se factorise en le produit de quatre formes linéaires en $(p,q,r)$ : savoir $(pa+qb+rc)(-pa+qb+rc)...$ et la conclusion s'ensuit.
Amicalement
pappus
on a envie de dire que, si une droite $D$ a pour équation barycentrique $pX+qY+rZ=0$, la position du point $(x:y:z)$ à distance finie est donnée par le signe de $px+qy+rz$.
Cela n'a pas de sens puisque ce triplet n'est défini qu'à un scalaire multiplicatif près, qui peut être négatif ; cela prend tout son sens au contraire si l'on impose que $x+y+z$ soit $>0$. On n'a ensuite aucun mal à établir tout cela rigoureusement
L'inégalité triangulaire nous dit enfin où placer le(s) signe(s) $-$, en fait un seul dans chaque triplet, dans les coordonnées des centres des trois cercles exinscrits, afin de respecter cette obligation de signe.
C'est avec tout cela en tête que j'ai écrit supra que la droite de l'infini ne définit, elle, qu'un seul côté.
bien joué ! Me voilà pris dans le rets... tu nous as appâtés avec une question facile et, vlan, en voici de substantielles.
Alors, pour le 1°, déjà : on sait toujours construire le milieu du segment d'intersection droite-conique, c'est là où la polaire du point à l'infini de la droite coupe cette droite. Figure à l'appui.
A suivre !