Soit $d$ un entier différent de $0$ qui n'est pas le carré d'un entier. On pose $\gamma=\sqrt{d}$ si $d>0$ et $i \sqrt{-d}$ si $d<0$. Soit $z=a+b \gamma$ un élément de $\Z[\gamma]$. Le conjugué de $z$ est $\bar{z}=a-b \gamma$. La norme de $z$ est l'entier $N(z)=z\bar{z} =(a+b \gamma)(a-b \gamma)=a^2-b^2d$. Si $d<0$, $N(z)=|z|^2$ et $N(z) \in \N$.
Ici $d=-1<0$. Or $z \bar{z} =|z|^2$ donc ça répond à la question.
Depuis hier soir je suis bloqué sur ce passage. Je ne comprends pas pourquoi si $\pi \bar{ \pi} \mid \alpha \bar{ \alpha}$ alors $\pi$ est associé à $\alpha$ ou $\bar{\alpha}$. Ni comment en déduire que $\alpha \bar{\alpha}= \pi \bar{ \pi} =p$...
Si il dit ça, relis le cours sur les carrés dans $F_p$.
Je ne comprends rien à la démonstration, je ne vois toujours pas pourquoi $\pi \bar{\pi} \mid \bar{\alpha}$ implique que $\pi$ est associé à $\alpha$ ou $\bar{\alpha}$.
Une tentative : Comme $\pi \bar{\pi}$ est irréductible alors $\pi \bar{\pi} \mid \alpha$ ou $\pi \bar{\pi} \mid \bar{ \alpha}$ (corollaire du théorème de Gauss).
Ainsi, $\alpha = \pi \bar{\pi} w$ avec $w \in \Z[i]$ ou $\bar{\alpha} = \pi \bar{\pi} w'$ avec $w' \in \Z[i]$
Je ne vois pas comment en déduire que $\pi$ est associé à $\alpha$ ou $\bar{\alpha}$, on ne connait rien sur $w,w'$ on ne sait pas s'ils sont inversibles.
$\pi \bar{\pi}$ n'est pas irréductible dans $\Z[i]$ c'est $\pi$ qui l'est. Tu cites le corollaire du théorème de Gauss mais tu ne l'utilises pas là où il faut.
On sait que $\pi \bar{\pi}\mid \alpha \bar{\alpha}$, donc il existe $w \in \Z[i]$ tel que $\alpha \bar{\alpha}=w \pi \bar{\pi}$, donc $\pi\mid \alpha \bar{\alpha}$ et maintenant tu utilises Gauss sachant que $\pi$ est irréductible. Donc, $\pi\mid \alpha$ ou $\pi\mid \bar{\alpha}$ ce qui implique que $\pi$ est associé à $\alpha$ ou à $\bar{\alpha}$
@OShine je te rappelle que $\alpha$ (et $\bar{\alpha}$) est irréductible (unbreakable quoi ). Est-ce que tu arrives à écrire la ligne qui montre quel est l'inversible qui relie $\pi$ et $\alpha$ (ou $\bar{\alpha}$) ?
@raoul.S $\alpha$ est irréductible. Comme $\pi \mid \alpha$ ou $\pi \mid \bar{\alpha}$ alors il existe $w,w' \in \Z[i]$ tel que $\alpha= \pi w$ ou $\bar{\alpha} = \pi w'$ Comme $\alpha$ est irréductible, $\alpha= \pi w$ implique que $w$ est inversible car $\pi$ est irréductible donc non inversible. Donc $\alpha$ et $\pi$ sont associés. Le raisonnement est identique pour $\bar{\alpha}$ car si $\alpha$ est irréductible alors $\bar{\alpha}$ aussi. Par contre je ne vois pas comment en déduire que $\alpha \bar{\alpha} = \pi \bar{\pi} = p$ @Julia Paule sûrement une coquille !
J'ai bien mis 30 min pour trouver la solution ! On a $\pi \bar{ \pi} \mid \alpha \bar{\alpha}$ donc il existe $u \in \Z[i]$ tel que $\alpha \bar{\alpha} = \pi \bar{ \pi} u$ Or $\pi$ est associé à $\alpha$ donc $\pi = \alpha \varepsilon$ où $\varepsilon$ est inversible. Donc $ \pi \bar{ \pi} = \alpha \varepsilon \overline{ \alpha \varepsilon} = \alpha \varepsilon \overline{ \alpha} \overline{ \varepsilon}$ Or $\Z[i]$ est un anneau commutatif car sous-anneau de $\C$, donc $ \pi \bar{ \pi} = \alpha \overline{ \alpha} \varepsilon \overline{ \varepsilon}$ Comme $N$ est à valeur dans $\N$ et $\varepsilon$ est inversible, d'après le cours $N(\varepsilon)=1= \varepsilon \overline{ \varepsilon}$ Finalement $\boxed{\pi \bar{ \pi} = \alpha \overline{ \alpha}}$.
Remarques : 1) ta deuxième ligne avec $u$ ne sert à rien. 2) il manque le cas $\pi$ associé à $\bar{\alpha}$ mais on sait qu'on trouve pareil.
et 3) si dans ton cours ils ne daignent même pas mentionner ce développement dans la démo, car il est censé être évident, et que tu as mis 30 minutes pour le trouver, il faut peut-être en tirer les conclusions qui s'imposent...
D'accord merci. Le bouquin est bien mais la fin est ardue. L'auteur précise que les notions abordées en fin de livre sont des notions avancées. Je pense que ces notions dépassent le niveau de l'agrégation interne.
OShine, ce n'est pas que la fin est ardue, c'est que tu ne mets pas assez les mains dans le cambouis. Ce genre de vérification basique (celle ci-dessus) tu devrais savoir les faire tout seul beaucoup plus rapidement.
Le reste de la division par 2 est soit 0 soit 1 non ?
Ici tu as un entier $\nu_p(N)$, et tu lui soustrais 2 à chaque étape et tu t'arrêtes juste avant d'obtenir un résultat négatif. Selon toi quels sont les nombres entiers (ceux de la dernière étape donc) que tu peux potentiellement obtenir en faisant ça ?
Réponses
Soit $d$ un entier différent de $0$ qui n'est pas le carré d'un entier. On pose $\gamma=\sqrt{d}$ si $d>0$ et $i \sqrt{-d}$ si $d<0$.
Soit $z=a+b \gamma$ un élément de $\Z[\gamma]$.
Le conjugué de $z$ est $\bar{z}=a-b \gamma$.
La norme de $z$ est l'entier $N(z)=z\bar{z} =(a+b \gamma)(a-b \gamma)=a^2-b^2d$.
Si $d<0$, $N(z)=|z|^2$ et $N(z) \in \N$.
Ici $d=-1<0$. Or $z \bar{z} =|z|^2$ donc ça répond à la question.
Je bloque sur la suite, les messages encadrés.
Je ne comprends pas pourquoi si $\pi \bar{ \pi} \mid \alpha \bar{ \alpha}$ alors $\pi$ est associé à $\alpha$ ou $\bar{\alpha}$.
Ni comment en déduire que $\alpha \bar{\alpha}= \pi \bar{ \pi} =p$...
Il faut que tu aies les idées claires sur les notions de premiers et irréductibles dans $\mathbb{Z}[i]$.
Jean-éric
Il manque une étoile c'est ça l'erreur ?
Je ne comprends rien à la démonstration, je ne vois toujours pas pourquoi $\pi \bar{\pi} \mid \bar{\alpha}$ implique que $\pi$ est associé à $\alpha$ ou $\bar{\alpha}$.
Une tentative :
Comme $\pi \bar{\pi}$ est irréductible alors $\pi \bar{\pi} \mid \alpha$ ou $\pi \bar{\pi} \mid \bar{ \alpha}$ (corollaire du théorème de Gauss).
Ainsi, $\alpha = \pi \bar{\pi} w$ avec $w \in \Z[i]$ ou $\bar{\alpha} = \pi \bar{\pi} w'$ avec $w' \in \Z[i]$
Je ne vois pas comment en déduire que $\pi$ est associé à $\alpha$ ou $\bar{\alpha}$, on ne connait rien sur $w,w'$ on ne sait pas s'ils sont inversibles.
On sait que $\pi \bar{\pi}\mid \alpha \bar{\alpha}$, donc il existe $w \in \Z[i]$ tel que $\alpha \bar{\alpha}=w \pi \bar{\pi}$, donc $\pi\mid \alpha \bar{\alpha}$ et maintenant tu utilises Gauss sachant que $\pi$ est irréductible. Donc, $\pi\mid \alpha$ ou $\pi\mid \bar{\alpha}$ ce qui implique que $\pi$ est associé à $\alpha$ ou à $\bar{\alpha}$
C'est qui l'inversible qui les relie ?
$\alpha$ est irréductible. Comme $\pi \mid \alpha$ ou $\pi \mid \bar{\alpha}$ alors il existe $w,w' \in \Z[i]$ tel que $\alpha= \pi w$ ou $\bar{\alpha} = \pi w'$
Comme $\alpha$ est irréductible, $\alpha= \pi w$ implique que $w$ est inversible car $\pi$ est irréductible donc non inversible.
Donc $\alpha$ et $\pi$ sont associés.
Le raisonnement est identique pour $\bar{\alpha}$ car si $\alpha$ est irréductible alors $\bar{\alpha}$ aussi.
Par contre je ne vois pas comment en déduire que $\alpha \bar{\alpha} = \pi \bar{\pi} = p$
@Julia Paule sûrement une coquille !
On a $\pi \bar{ \pi} \mid \alpha \bar{\alpha}$ donc il existe $u \in \Z[i]$ tel que $\alpha \bar{\alpha} = \pi \bar{ \pi} u$
Or $\pi$ est associé à $\alpha$ donc $\pi = \alpha \varepsilon$ où $\varepsilon$ est inversible.
Donc $ \pi \bar{ \pi} = \alpha \varepsilon \overline{ \alpha \varepsilon} = \alpha \varepsilon \overline{ \alpha} \overline{ \varepsilon}$
Or $\Z[i]$ est un anneau commutatif car sous-anneau de $\C$, donc $ \pi \bar{ \pi} = \alpha \overline{ \alpha} \varepsilon \overline{ \varepsilon}$
Comme $N$ est à valeur dans $\N$ et $\varepsilon$ est inversible, d'après le cours $N(\varepsilon)=1= \varepsilon \overline{ \varepsilon}$
Finalement $\boxed{\pi \bar{ \pi} = \alpha \overline{ \alpha}}$.
1) ta deuxième ligne avec $u$ ne sert à rien.
2) il manque le cas $\pi$ associé à $\bar{\alpha}$ mais on sait qu'on trouve pareil.
et 3) si dans ton cours ils ne daignent même pas mentionner ce développement dans la démo, car il est censé être évident, et que tu as mis 30 minutes pour le trouver, il faut peut-être en tirer les conclusions qui s'imposent...
Le bouquin est bien mais la fin est ardue.
L'auteur précise que les notions abordées en fin de livre sont des notions avancées.
Je pense que ces notions dépassent le niveau de l'agrégation interne.
Je suis bloqué depuis hier sur cette preuve. Je ne comprends pas pourquoi $v_p(N_1)$ est compris entre $0$ et $1$.
Ici tu as un entier $\nu_p(N)$, et tu lui soustrais 2 à chaque étape et tu t'arrêtes juste avant d'obtenir un résultat négatif. Selon toi quels sont les nombres entiers (ceux de la dernière étape donc) que tu peux potentiellement obtenir en faisant ça ?