Simulation de la loi gaussienne

P.2 · September 2022

Soient $X_1,Y_1,X_2,Y_2,\ldots$ des va positives indépendantes et de même loi exponentielle définie par $\Pr(X_1>x)=e^{-x}.$ Soit

$$T=\inf \{n\ \mid X_n>\frac{1}{2}(1-Y_n)^2\} .$$ Soit enfin $Z$ une va $N(0,1).$ Montrer $Y_T\sim |Z|.$

Positif · September 2022

Algo du rejet non ?

gerard0 · September 2022

Le titre ne correspond pas au message !!

P.2 · September 2022

Curieuse réflexion gerard0. Pour simuler $Z$ quand on a $|Z|,$ il n'y a plus grand chose à faire. De toute façon cette méthode n'est pas économique, bien sûr.

gerard0 · September 2022

Non, ma réponse n'est pas curieuse, c'est ton titre qui l'est.

Ton message ne parle pas de simulation, mais de prouver un lien entre deux variables aléatoires. Ou plus simplement de prouver qu'une certaine variable aléatoire a une loi connue.

Après, si on veut se servir de cette méthode pour simuler, c'est autre chose ! Mais ton titre a déjà trompé Positif.
Cordialement.

NB. Ton message sous-entend qu'on a une infinité de variables exponentielles. Difficile de s'en servir concrètement.

Positif · September 2022

Nan je veux dire que l'application du théorème du rejet doit donner le résultat, où un résultat assez proche. Et si cela ne fonctionne pas, décortiquer la preuve devrait suffir à trouver la réponse.

P.2 · September 2022

Comprends rien. Positif a parfaitement raison. Quant a simuler une variable exponentielle standard, $-\log U$ fait l'affaire, avec $U$ uniforme.

gerard0 · September 2022

P.2,

dans ton premier message, $T$ est un inf pour $n$ qui n'est pas défini, et surtout pas limité. On est fondé à lire $\inf \{n\in \mathbb N\ | \ ...$. Ce qui ne donne absolument pas une méthode de simulation.

Mais peut-être que le mot "simulation" n'a pas le même sens pour toi que pour les probabilistes. D'autant que ton message ne parlait pas de simulation (pas de méthode effective) ; contrairement à celui de Positif.

Ton "Comprends rien." m’inquiète, surtout suivi de "Positif a parfaitement raison."

Mais peut-être as-tu seulement eu une idée que tu t'es empressé de publier avant de l'avoir suffisamment décortiquée pour la présenter de façon intelligible. Dans ce cas, explique la méthode de simulation (c'est ce qui manquait à ton premier message).

Cordialement.

Lucas · September 2022

Je suis d'accord pour dire que le lien entre la simulation et l'exercice n'est pas immédiat pour un débutant mais enfin quand même Gérard, tu vois bien que le résultat donne un algo simple de simulation.

L'inf sur N ne pose aucun problème, ou alors peut-être est-ce que tu te refuses à écrire des boucles while dans un programme et tu considères que par exemple il est impossible de simuler une v.a. géométrique ?

Bref, je ne comprends pas le but de ton intervention, qui cherches-tu à aider ici ? En moins de message tu aurais pu simplement orienter ce fil pour qu'il profite aux débutants.

noobey · September 2022

Moi non plus je ne comprends pas le pinaillage ici.
$P(2X_n > (1-Y_n)^2) = \int_{R+} \int_{(1-y)^2/2}^{\infty} e^{-(x+y)}dx = \int_{R+} e^{-y}e^{-(1-y)^2/2} dy = \sqrt{\pi/2e} = p $
Ensuite
$P(Y_T \leq t) = \sum_{n \geq 1} P(Y_n \leq t | T = n)P(T = n) = \sum_{n \geq 1} P(Y_n \leq t | T = n)p(1-p)^{n-1} = \frac{1}{p} P(Y_1 \leq t | T = 1)$
Et
$P(Y_1 \leq t | T = 1) = \int_{0}^{t} e^{-y}e^{-(1-y)^2/2} dy = \frac{1}{\sqrt{e}} \int_0^y e^{-y^2/2}$
D'où $P(Y_T \leq t) = \int_0^y \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-y^2/2}dy$ ce qui correspond bien à la fonction de répartition d'une loi demi normale https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_demi-normale

gerard0 · September 2022

Effectivement,

maintenant je pinaille. mais au départ, le titre ne correspond pas à la question posée ("montrer que ..") et la réponse de Positif correspondait au titre, pas à la question. D'où ma remarque.

Ensuite, comme P.2 ne comprend pas que ce qu'il a écrit n'est pas clair, j'ai essayé d'expliquer, mais c'est toujours difficile quand quelqu'un n'a pas été clair de le lui faire comprendre. C'est comme expliquer une blague à celui qui ne la comprend pas, ce n'est plus drôle !

Fin du sujet pour moi.

Saturne · September 2022

Ce blog (de Christian Robert) donne un lien vers une solution et des commentaires : https://xianblog.wordpress.com/2022/09/15/why-is-this-algorithm-simulating-a-normal-variate/

Saturne · September 2022

Tu pinailles vraiment là je trouve, gerard0. La question probabiliste est le point-clé de l'algo de simulation. Et bien sûr qu'on a une "infinité" de v.a. exponentielles iid avec un ordi. Suffit de répéter la simulation.

gerard0 · September 2022

Oui, je l'ai clairement dit. Mais au départ, ça n'était pas clair pour moi (*), donc il y a bien un problème d'exposition. En fait, c'est parfois le cas sur ce forum où interviennent des "spécialistes". Ils sont tellement dans leurs habitudes de ce qu'ils font à longueur de temps qu'ils oublient ceux qui ne savent pas sur quoi ils travaillent. Très peu d'intervenants vont sur le sous forum "Géométrie" faute de comprendre les remarques des géomètres; qui eux-même interviennent peu sur les forums d'analyse, encore moins de probas. Les profs n'interviennent plus que sur les questions d'enseignement ou de société.

Moi qui ne suis spécialiste de rien, je suis souvent interloqué par des questions dont je ne vois pas le rapport avec le titre. Et des messages qui ne parlent pas de ce que dit le titre.

Ce forum est en train de devenir double : des spécialistes qui parlent entre eux, et des discussions de café du commerce.

NB : P.2 aurait parlé d'utiliser cette propriété pour une simulation, voire se serait interrogé sur l'efficacité, je ne serais jamais intervenu ainsi.

Cordialement.

(*) j'arrivais à faire un lien, mais le deuxième message pouvait être en rapport seulement avec le titre, d'où mon intervention