3 petites questions
Bonjour
Ma petite amie, me propose de résoudre 3 petites questions que je partage avec vous.
1- Si m,n et p [sont] des entiers naturels vérifiant $0<m²+n²-mnp\le p$. Montrer que $m²+n²-mnp$ est un carré parfait.
2- Calculer, avec preuve mathématique et sans logiciel, la valeur de $\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^{31416} (x) dx$
3- Démontrer la chose qui suit, où chaque lettre représente un chiffre différent :
SOUS × TOUT < SOUT × TOUS
Pour la question 2, On sait que
$\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^{n} (x) dx=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times \frac{n-5}{n-4}\times \cdots\times \frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$, pour $n$ pair.
Je ne vois pas comment trouver la valeur souhaité sans logiciel. Wolphi donne la valeur 0.007071, je pense qu'on peut faire mieux.
Pour la question 1, je ne sais pas si c'est un marronnier du forum.
Ma petite amie, me propose de résoudre 3 petites questions que je partage avec vous.
1- Si m,n et p [sont] des entiers naturels vérifiant $0<m²+n²-mnp\le p$. Montrer que $m²+n²-mnp$ est un carré parfait.
2- Calculer, avec preuve mathématique et sans logiciel, la valeur de $\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^{31416} (x) dx$
3- Démontrer la chose qui suit, où chaque lettre représente un chiffre différent :
SOUS × TOUT < SOUT × TOUS
Pour la question 2, On sait que
$\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^{n} (x) dx=\frac{n-1}{n}\times \frac{n-3}{n-2}\times \frac{n-5}{n-4}\times \cdots\times \frac{1}{2}\frac{\pi}{2}$, pour $n$ pair.
Je ne vois pas comment trouver la valeur souhaité sans logiciel. Wolphi donne la valeur 0.007071, je pense qu'on peut faire mieux.
Pour la question 1, je ne sais pas si c'est un marronnier du forum.
Le 😄 Farceur
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Réponses
i.zitoussi J'ai fait les calculs en base 10. pour ev je ne comprends pas ta méthode pour le moment
Pour la 2, je crois qu'on demande une valeur numérique finale sans logiciel, peut être des simplifications magiques !
> ev: $\int_0^{\frac{\pi}2} \cos^{2n} (x) dx =\dfrac12\dbinom{2n}n \, \pi$
Il me semble que le membre de gauche tend vers $0$ (et est majoré par $\dfrac{\pi}{2}$) alors que le membre de droite tend vers $+\infty$ quand $n \to +\infty$.
Cordialement,
Rescassol
Ton calcul n'est pas faux : $\displaystyle\binom{2p}{p}=2\binom{2p-1}{p-1}$
Je ne comprends ce que Myth veut dire par We get a descent algorithm, therefore, finally, we will come to $b^{2}-d=0$.
Peux-tu m'expliquer stp
où $1\leq d\leq c$ sont des entiers fixés.
On a nécessairement $d=e^2$ avec $e\in\N^*$, puis $a=ex$ et $b=ey$ avec $(x,y)\in(\N^*)^2$ solution de $x^2+y^2-cxy=1$.
Les solutions de cette dernière équation sont données par $\{x,y\}=\{u_n,u_{n+1}\}$ où la suite $u_n$ est définie par $u_0=1,u_1=c$ et $u_{n+2}=cu_{n+1}-u_n$.
On en déduit $u_n=Q_n(c)$ où $Q_n$ est le polynôme de Tchebychev défini par $Q_n(2\cos t)=\dfrac{\sin((n+1)t)}{\sin t}$.
On peut montrer que $Q_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k{\binom {n-k}k}X^{n-2k}$ d'où une formule explicite pour $u_n$.
Si je prends c=2, la solution de la récurrence linéaire est la suite $u_n=n+1$ et avec ton dernier post, on aura
$$\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}(-1)^k{\binom {n-k}k}2^{n-2k}=n+1$$
Mais une preuve directe n'est pas si évidente
NB. Tricher c'est de savoir que ce problème vient d'une récurrence linéaire
edit ( C'est bon, un ange gardien m'a envoyé un lien vers MSE)
https://math.stackexchange.com/questions/747102/proving-combinatorial-identity-sum-k-0n-1k-binom2n-kk-22n-2k-2?noredirect=1
Ce qui est marrant c'est qu'on peut formuler des identités difficiles à trouver directement en choisissant un c dans ta formule
Je pense que la démonstration la plus élémentaire est celle qui utilise la récurrence linéaire d'ordre 2.